[논문 리뷰] THE CONVEX REAL PROJECTIVE MANIFOLDS AND ORBIFOLDS WITH RADIAL ENDS I: THE OPENNESS OF DEFORMATIONS

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 44인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 근방 끝을 가진 볼록 실프로젝티브 오비폴드의 변형에 대한 개방성을 그 기본군과 끝의 구조를 분석하여 확립하며, 특정 조건 하에서 작은 변형이 엄격한 볼록성을 유지함을 증명한다. 이는 벤와이스트의 결과를 일반화하여, 이러한 오비폴드가 상대적으로 히퍼볼릭임과 동시에 그 끝에 대해 엄격히 볼록임과 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

A real projective orbifold is an n-dimensional orbifold modeled on RP n with groups PGL(n + 1;R). We concentrate on orbifolds with a compact codimension 0 submanifold whose complement is a union of neighborhoods of ends, dieomorphic to (n 1)-dimensional orbifolds times intervals. A real projective orbifold has radial end if each of its end is foliated by projective geodesics concurrent to each other. It is said to be convex if any path can be homotoped to a projective geodesic with endpoints xed. A projective structure sometimes admit deformation to inequivalent parameters of real projective structures. We will prove that local homemorphism between the deformation space of projective structures on such an orbifold with radial ends with various conditions with the representation space of the fundamental group with corresponding conditions. We will use a Hessian argument to show that a small deformation of a real projective orbifold with ends and without essential annuli will remain properly and strictly convex in a generalized sense if so is the beginning real projective orbifold provided that the ends behave in a convex manner. Here, we have to restrict each end to have a fundamental group isomorphic to a nite extension of a product of hyperbolic groups and abelian groups. The understanding of the ends is not accomplished in this paper as this forms an another subject. We will prove the closedness of the convex real projective structures on orbifolds with irreducibilty condition. One theorem of note is that a convex irreducible real projective orbifold with radial ends with some condition is relatively hyperbolic if and only if it is strictly convex with respect to ends, generalizing the result of Benoist for closed orbifolds.

연구 동기 및 목표

• 반경 끝을 가진 오비폴드 위의 실프로젝티브 구조의 변형 공간의 개방성을 확립하기 위해.
• 끝의 행동과 기본군의 구조에 따라 볼록성과 엄격한 볼록성을 특성화하기 위해.
• 폐쇄된 오비폴드에 대한 벤와이스트의 결과를 반경 끝을 가진 경우로 일반화하기 위해.
• 상대적 히퍼볼릭성과 끝에서의 엄격한 볼록성 사이의 관계를 조사하기 위해.
• 구조적 제어를 위해 끝의 기본군을 하이퍼볼릭군과 아벨군의 곱의 유한 확장으로 제한하기 위해.

제안 방법

• 작은 변형 하에서 볼록성 조건의 이차 변화를 분석하기 위해 헤시안 방법을 사용하기 위해.
• 오비폴드를 (n−1)-차원 오비폴드와 구간의 곱으로 동형인 끝의 이웃을 갖는 컴acts 코어로 모델링하기 위해.
• 각 끝이 한 점에서 수렴하는 프로젝티브 지오데식으로 구성되어야 하며, 이를 반경 끝으로 정의하기 위해.
• 각 끝의 기본군에 조건을 부여하여, 하이퍼볼릭군과 아벨군의 곱의 유한 확장으로 제한하기 위해.
• 기본군의 표현 공간과 프로젝티브 구조의 변형 공간 사이에 국소적 위상동형을 수립하기 위해.
• 위상적 및 기하적 제어를 위해 오비폴드의 구조를 보장하기 위해 비가역 조건을 사용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반경 끝을 가진 볼록 실프로젝티브 오비폴드의 작은 변형이 엄격한 볼록성을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 끝의 기본군이 프로젝티브 구조의 변형 공간에 어떻게 제약을 가하는가?
• RQ3 이러한 오비폴드에서 상대적 히퍼볼릭성과 끝에서의 엄격한 볼록성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 헤시안 방법이 변형 공간의 개방성을 보장하는 방식은 무엇인가?
• RQ5 특히 끝의 기본군에 의해 영향을 받는 오비폴드의 전반적 볼록성은 어떤 방식으로 영향을 받는가?

주요 결과

• 주어진 조건 하에서 반경 끝을 가진 오비폴드 위의 실프로젝티브 구조의 변형 공간은 개방적이다.
• 원래의 구조가 엄격히 볼록하고 끝이 볼록하게 행동한다면, 작은 변형은 엄격한 볼록성을 유지한다.
• 반경 끝을 가진 볼록이고 비가역적인 실프로젝티브 오비폴드는 그 끝에 대해 엄격히 볼록할 때에만 상대적으로 히퍼볼릭이다.
• 결과가 성립하기 위해 각 끝의 기본군은 하이퍼볼릭군과 아벨군의 곱의 유한 확장과 동형이어야 한다.
• 프로젝티브 구조의 변형 공간과 기본군의 표현 공간 사이에 국소적 위상동형이 수립된다.
• 헤시안 방법은 작은 변형에 따른 볼록성 유지 여부를 확인하는 핵심 분석 도구를 제공한다.