[논문 리뷰] The Cop Number of Graphs with Forbidden Induced Subgraphs

Mingrui Liu|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 29.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 유도 부분그래프를 포함하지 않는 그래프의 코프 수를 조사하며, 경로 유사 또는 별 유사 구조를 포함하지 않도록 금지된 그래프 가족에 대해 코프 수를 유 bounds하기 위한 새로운 방법을 제안한다. $c(G) \leq k-2$ 를 $P_k$-free 그래프 ($k \geq 3$)에 대해 증명하고, 이는 $(P_i + P_j)$-free 그래프로 확장되어 $c(G) \leq i+j-2$ 를 얻으며, $\{P_k, K_{1,3}\}$-free 및 $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-free 그래프에 대해 더 날카운 bounds를 확립하여 일부 추측을 해결하고 이전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In the game of Cops and Robber, a team of cops attempts to capture a robber on a graph $G$. Initially, all cops occupy some vertices in $G$ and the robber occupies another vertex. In each round, a cop can move to one of its neighbors or stay idle, after which the robber does the same. The robber is caught by a cop if the cop lands on the same vertex which is currently occupied by the robber. The minimum number of cops needed to guarantee capture of a robber on $G$ is called the {\em cop number} of $G$, denoted by $c(G)$. We say a family $\cal F$ of graphs is {\em cop-bounded} if there is a constant $M$ so that $c(G)\leq M$ for every graph $G\in \cal F$. Joret, Kaminński, and Theis [Contrib. Discrete Math. 2010] proved that the class of all graphs not containing a graph $H$ as an induced subgraph is cop-bounded if and only if $H$ is a linear forest; morerover, $C(G)\leq k-2$ if if $G$ is induced-$P_k$-free for $k\geq 3$. In this paper, we consider the cop number of a family of graphs forbidding certain two graphs and generalized some previous results.

연구 동기 및 목표

• 특히 경로와 클로우를 포함하는 특정 유도 부분그래프를 배제하는 그래프의 코프 수를 결정하는 것.
• $P_k$-free 그래프에 대한 이전 결과를 다수의 유도 부분그래프를 금지하는 가족으로 일반화하는 것.
• 구조적 그래프 분해와 추격 전략을 활용하여 코프 수를 유 bounds하기 위한 통합된 방법을 제공하는 것.
• Sivaraman과 Testa가 제기한 $2P_2$-free 그래프의 코프 수에 관한 추측을 부분적으로 해결하는 것.

제안 방법

• 코프와 도둑 사이의 거리를 최단 경로 구조와 이웃 제약 조건을 이용해 통제하는 데 기반한 새로운 전략이 개발되었다.
• 증명 기법은 코프와 도둑 사이의 최소 거리 $f$ 를 고려하며, 이 거리의 라운드 간 변화를 분석한다.
• 코프는 코프가 $P_k$-free인 컴포넌트에 고립되도록 정점과 이웃에 전략적으로 배치된다.
• 귀납법과 구조적 분석을 활용하여 $k-2$ 명의 코프가 $P_k$-free 그래프에 충분함을 보이며, 경로의 합집합으로 확장된다.
• $\{P_k, K_{1,3}\}$-free 그래프의 경우, 경로 금지와 클로우 금지를 조합하여 코프 수를 $k-3$ 으로 감소시킨다.
• 이 방법은 $(P_{i_1} + \cdots + P_{i_k})$-free 그래프로 일반화되어 총 $\sum i_j - 2$ 명의 코프를 유 bounds한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $k \geq 3$ 인 $P_k$-free 그래프에 대해 코프 수의 최대값은 무엇인가?
• RQ2 예를 들어 $P_k$와 $K_{1,3}$를 포함하지 않는 쌍의 유도 부분그래프를 배제하는 그래프에 대해 코프 수를 유 bounds할 수 있는가?
• RQ3 $i,j \geq 1$ 인 $P_i + P_j$-free 그래프에서 코프 수는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 서로소 경로의 합집합인 유도 부분그래프를 금지할 경우 코프 수가 감소할 수 있는가?
• RQ5 $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-free 그래프의 코프 수는 얼마이며, 기존의 유 bounds와 비교해 보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• $k \geq 3$ 인 모든 $P_k$-free 그래프에 대해 코프 수는 최대 $k-2$ 이며, 이는 기존 결과를 새로운 증명 방법으로 확인한 것이다.
• $k \geq 5$ 인 $\{P_k, K_{1,3}\}$-free 그래프에 대해 코프 수는 최대 $k-3$ 이며, 이는 $P_k$-free 그래프의 유 bounds를 향상시킨다.
• $(P_i + P_j)$-free 그래프의 코프 수는 최대 $i + j - 2$ 이며, 이는 서로소 경로의 합집합을 금지할 경우 단일 경로를 금지하는 것보다 더 날카운 유 bounds를 얻는다는 것을 보여준다.
• $\{2P_2, \overline{P_5}\}$-free 그래프의 경우 코프 수는 최대 2이며, 삼각형이 없는 여집합을 가진 $2P_2$-free 그래프에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• 논문은 $(P_1 + P_k)$-free 그래프에 대해 $c(G) \leq k-1$ 과 $(P_2 + P_k)$-free 그래프에 대해 $c(G) \leq k$ 를 증명하여 이 방법의 적용 범위를 확장한다.
• 이 방법은 Sivaraman와 Testa가 제기한 $2P_2$-free 그래프의 코프 수에 관한 추측의 부분적인 경우를 성공적으로 해결한다.