[논문 리뷰] The Cost of Stability in Coalitional Games

Yoram Bachrach, Edith Elkind외 5명|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 24.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 핵심이 비어 있는 협력 게임의 안정성을 확보하기 위해 외부 지급을 최소화하는 비용인 안정성 비용(CoS)을 도입한다. 이는 어떤 부분집단도 이탈하지 않도록 방지하기 위해 필요한 최소 외부 지급을 의미한다. 논문은 가중 투표 게임에서 CoS에 대한 종합적인 분석을 제공하며, 전체 연합 구조를 안정화하는 것보다 특정 연합을 안정화하는 것이 더 저렴할 수 있음을 보이며, CoS와 관련된 决정 문제의 계산 복잡도 결과를 수립한다.

ABSTRACT

A key question in cooperative game theory is that of coalitional stability, usually captured by the notion of the \emph{core}--the set of outcomes such that no subgroup of players has an incentive to deviate. However, some coalitional games have empty cores, and any outcome in such a game is unstable. In this paper, we investigate the possibility of stabilizing a coalitional game by using external payments. We consider a scenario where an external party, which is interested in having the players work together, offers a supplemental payment to the grand coalition (or, more generally, a particular coalition structure). This payment is conditional on players not deviating from their coalition(s). The sum of this payment plus the actual gains of the coalition(s) may then be divided among the agents so as to promote stability. We define the \emph{cost of stability (CoS)} as the minimal external payment that stabilizes the game. We provide general bounds on the cost of stability in several classes of games, and explore its algorithmic properties. To develop a better intuition for the concepts we introduce, we provide a detailed algorithmic study of the cost of stability in weighted voting games, a simple but expressive class of games which can model decision-making in political bodies, and cooperation in multiagent settings. Finally, we extend our model and results to games with coalition structures.

연구 동기 및 목표

• 핵심이 비어 있는 협력 게임의 불안정성을 해결하기 위해 외부 지급을 도입하여 안정성을 보장한다.
• 안정성 비용(CoS)을 정의하고 계산하여 주어진 연합 또는 연합 구조를 안정화하기 위해 필요한 최소 외부 보조금을 도출한다.
• 핵심 클래스인 가중 투표 게임에서 CoS를 결정하는 데 필요한 계산 복잡도를 분석한다.
• 협력 게임에서 CoS, 최소핵, 노들러스 간의 관계를 탐색한다.
• 모델을 연합 구조와 개별 연합으로 확장하여, 전체 분할을 안정화하는 것보다 한 개의 연합만 안정화하는 데 더 적은 지급이 필요한 경우를 보여준다.

제안 방법

• 협력 게임에서 안정된 지급 분배를 보장하기 위해 필요한 최소 총 외부 지급을 안정성 비용(CoS)으로 정의한다.
• 외부 지급을 연합 또는 연합 구조에만 지급하며, 구성원이 이탈하지 않을 경우에만 적용하는 모델을 설정한다.
• 선형 프로그래밍과 게임 이론적 수식을 사용하여 가중 투표 게임에서 CoS를 계산한다.
• CoS와 관련된 决定 문제의 계산 복잡도를 분석하며, NP-난이도 및 coNP에 속함을 확인한다.
• 각 개별 연합이 분할에 포함된 상태에서 안정성을 확보하도록 하여 연합 구조로 프레임워크를 확장한다.
• 특정 연합을 안정화하는 데 필요한 지급이 포함된 연합 구조를 안정화하는 데 필요한 지급보다 더 적을 수 있음을 보여주는 예시를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 핵심이 비어 있는 협력 게임에서 대연합을 안정화하기 위해 필요한 최소 외부 지급은 얼마인가?
• RQ2 특정 연합을 안정화하는 것과 전체 연합 구조를 안정화하는 것 사이에서 안정성 비용은 어떻게 다를까?
• RQ3 주어진 외부 지급이 게임을 안정화하는지 여부를 판단하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 어떤 연합을 안정화하는 데 필요한 비용이 그를 포함하는 모든 연합 구조를 안정화하는 데 필요한 비용보다 엄밀히 낮을 수 있는가?
• RQ5 안정성 비용은 최소핵, 노들러스와 같은 다른 해법 개념과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 가중 투표 게임에서 안정성 비용은 계산적으로 어렵다. 관련 决定 문제들은 NP-난이도이자 coNP-난이도이다.
• 특정 연합을 안정화하는 데 필요한 외부 지급이 그를 포함하는 어떤 연합 구조를 안정화하는 데 필요한 지급보다 더 적을 수 있으며, 이는 예제 5.6에서 확인된다.
• 가중 투표 게임 [8,8,9,9,1;10]의 예에서, 연합 구조 ({1,2},{3,4},{5})일 때 연합 {1,2}를 안정화하는 데 외부 지급이 0이 되며, 전체 CS-핵은 비어 있다.
• 지급 벡터 (0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0)는 외부 지급 없이도 연합 구조 ({1,2},{3,4},{5})를 안정화시킨다.
• 총 가치가 1인 3명의 플레이어로 구성된 게임에서 대연합을 안정화하기 위한 최소 외부 지급은 0.5이며, 이는 플레이어 1과 2가 각각 0.5씩을 받고 플레이어 3이 0을 받을 때 달성된다.
• 연합 외부의 플레이어에게 지급을 줌으로써 연합의 안정성을 확보할 수 있으며, 이는 3명의 플레이어 예제에서 플레이어 3이 이탈을 방지하기 위해 지급을 받는 것으로 나타난다.