[논문 리뷰] The cosupport axiom, equivariant cohomology and the intersection cohomology of certain symplectic quotients

Young‐Hoon Kiem, Jonathan Woolf|ArXiv.org|2001. 01. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정칙 모멘트 맵 축소에서 유도된 특이 심플렉틱 몰입의 교차 코hom로지(cohomology)를 계산하기 위한 프레임워크를 수립한다. 등급화된 코homology와 새로운 코서포트 조건을 사용한다. '거의 균형 잡힌(Almost-balanced)' 조건—즉, 군 작용의 가중치가 궤도 유형의 보조 다발에 대해 대칭적으로 분포할 때—에서 교차 코hom로지가 제로 궤도의 등급화된 코hom로지의 자연스러운 부분공간과 동형이며, 킬완 맵을 통해 쌍대성(pairing)이 유지됨을 증명한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a proper Hamiltonian $K$-space with proper moment map $μ$. The symplectic quotient $X=μ^{-1}(0)/K$ is in general a singular stratified space. In this paper we first generalize the Kirwan map to this symplectic setting which maps the $K$ equivariant cohomology of $μ^{-1}(0)$ to the middle perversity intersection cohomology $IH^*(X)$. Next, we show that there is a natural right inverse of the Kirwan map, under an assumption coming from the cosupport axiom for the intersection homology sheaf. Furthermore, we can identify the subspace of $H^*_K(μ^{-1}(0))$ which corresponds to $IH^*(X)$. The naturality of the splitting ensures that the intersection pairing corresponds to the cup product on equivariant cohomology. Finally, we show that the same set of ideas can be applied to any circle action and prove similar results without any assumption.

연구 동기 및 목표

• 모멘트 맵의 비정칙 값에서의 심플렉틱 몰입에 대한 교차 코호모로지의 계산을 확장하기 위해.
• 비정칙 축소에서 킬완 맵의 상사성(surjectivity)과 단사성(injectivity) 실패 문제를 다루기 위해.
• 새로운 코서포트 조건을 통해 교차 코호모로지가 등급화된 코호모로지의 부분공간으로 특성화됨을 밝히기 위해.
• 유도 범주 기법과 층 이론적 공리를 사용해 킬완의 구성 방식을 특이 몰입으로 일반화하기 위해.
• 약한 균형 잡힌 작용 조건 하에서 교차 쌍대성(pairing)이 등급화된 코호모로지의 쿠프 곱(cup product)과 자연스럽게 대응됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 궤도 유형의 보조 다발에 대해 가중치가 대칭적으로 분포하는 것과 동치인 '거의 균형 잡힌' 조건을 도입한다.
• 유도 범주에서 자연스러운 준동형 사상 λ: IC•(M₀) → C•_K(Z)를 구성하여 킬완 맵 κ를 분할한다.
• EK ×ₖ Z 위의 상수 층의 유도된 직접상한(derived pushforward)을 사용해 H*ₖ(Z)를 등급화된 코호모로지로 모델링한다.
• 코서포트 공리를 적용하여 C•_K(Z)가 교차 코호모로지 복합체 IC•(M₀)를 언제 근사하는지 특성화한다.
• 원형 작용의 경우, 고정점에서의 양수 및 음수 가중치의 수에 기반한 비중간 펄서비티(perversity) n을 정의한다.
• 하드 리프셰츠 정리와 푸앵카레 대칭성을 적용하여 켈러 클래스의 거듭제곱을 통해 I*H(M₀)의 전체 리프셰츠 분해를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모멘트 맵이 비정칙일 경우, 교차 코호모로지 복합체가 제로 수준 집합의 등급화된 코호모로지로부터 복원 가능한가?
• RQ2 군 작용의 어떤 조건이 제로 수준 집합의 등급화된 코호모로지가 몰입의 교차 코호모로지를 포괄하도록 보장하는가?
• RQ3 코서포트 공리는 제로 수준 집합의 등급화된 코호모로지의 구조가 교차 코호모로지 복합체와 관련하여 어떻게 제약을 가하는가?
• RQ4 적절한 조건 하에서 I*H(M₀)의 교차 쌍대성은 H*ₖ(Z)의 쿠프 곱과 자연스럽게 대응되는가?
• RQ5 이 이론은 원형 작용으로 어떻게 일반화되며, 이 경우 교차 코호모로지를 복원하기 위해 어떤 펄서비티를 사용해야 하는가?

주요 결과

• 거의 균형 잡힌 조건 하에서, 킬완 맵 κ를 분할하는 자연스러운 준동형 사상 λ: IC•(M₀) → C•_K(Z)가 존재한다.
• 교차 코호모로지 I*H(M₀)는 비퇴화된 쌍대성과 함께 등급화된 벡터 공간으로서 H*ₖ(Z)의 자연스러운 부분공간과 동형이다.
• 약한 균형 잡힌 작용 조건 하에서, I*H(M₀)에 대응하는 H*ₖ(Z)의 부분공간은 각 고정점 성분으로의 제약이 2d(F)−1 이하의 차수에 속할 때 조건을 만족한다.
• I*H(M₀)의 교차 쌍대성은 H*ₖ(Z)의 쿠프 곱을 취한 후 인근 정칙 축소의 기본류에 대해 평가함으로써 대응된다.
• 원형 작용의 경우, 교차 코호모로지는 고정점 제약 조건에 의해 정의된 H*ₖ(Z)의 부분공간과 동형이며, 비중간 펄서비티 n은 양수 가중치의 수에 의해 정의된다.
• SU(2) 작용이 (P¹)^n 에서 작용할 경우, 교차 푸앵카레 다항식은 (1−t²ᵖ)(1−t²ʲ⁺²ʳ)/(1−t²)²이며, 이는 차수 2n−2인 팔린드롬 다항식이며 하드 리프셰츠 성질을 확인한다.