[논문 리뷰] The Cox ring of an algebraic variety with torus action

Juergen Hausen, Hendrik Süß|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다면체 분할과 Orlik-Wagreich 그래프를 사용하여 복소수의 정규 완전 대수적 다양체에서 복잡도 1인 효과적인 토르스 작용을 가진 Cox 링을 완전한 조합론적 기술로 제공한다. 기하적 몫과 분리에 의한 생성자와 관계의 명시적 표현을 통해 토릭 다양체의 고전적 결과를 일반화하고, 고렌스타인 델 페초 표면 및 프로젝티브 벡터 복합체의 명시적 링을 계산한다.

ABSTRACT

We investigate the Cox ring of a normal complete variety X with algebraic torus action. Our first results relate the Cox ring of X to that of a maximal geometric quotient of X. As a consequence, we obtain a complete description of the Cox ring in terms of generators and relations for varieties with torus action of complexity one. Moreover, we provide a combinatorial approach to the Cox ring using the language of polyhedral divisors. Applied to smooth k*-surfaces, our results give a description of the Cox ring in terms of Orlik-Wagreich graphs. As examples, we explicitly compute the Cox rings of all Gorenstein del Pezzo k*-surfaces with Picard number at most two and the Cox rings of projectivizations of rank two vector bundles as well as cotangent bundles over toric varieties in terms of Klyachko's description.

연구 동기 및 목표

• 정규 완전 다양체에서 토르스 작용을 가진 Cox 링을 생성자와 관계의 관점에서 기술하는 것.
• 토르스 작용 하에서 다양체의 최대 기하적 몫에 대한 Cox 링과의 관계를 규명하는 것.
• 복잡도 1의 경우에 Cox 링을 계산하기 위한 다면체 분할을 사용한 조합론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 이 프레임워크를 적용하여 고렌스타인 델 페초 ${\mathbb{K}}^{*}$-표면과 토릭 다양체 위의 프로젝티브 코탄젠트 복합체에 대한 명시적 Cox 링을 계산하는 것.

제안 방법

• 토르스 작용이 자유인 부분집합 $X_0 \subseteq X$ 를 이용하여 기하적 몫 $X_0/T$ 를 구성하는 것.
• 관찰된 다항식의 분할에 의한 캐논컬 섹션을 포함하는 등급 링 동형사상으로 Cox 링 $\mathcal{R}(X)$ 와 $\mathcal{R}(X_0/T)$ 를 연결하는 것.
• $X \setminus X_0$ 에 속하는 다항식과 유한한 이소트로피를 가진 다항식에 대해 각각 캐논컬 섹션 $1_{E_k}$ 와 $1_{D_j}$ 를 도입하는 것.
• 문제를 $X_0/T$ 의 분리 맵 $\pi: X_0/T \dashrightarrow Y$ 를 통해 Cox 링이 알려진 다양체 $Y$ 로 축소하는 것.
• 기하학적 성질을 다면체 분할로 표현하고, 단항식과 삼항식을 통해 Cox 링의 관계를 유도하는 것.
• Klyachko의 토르스--equivariant 벡터 복합체의 기술을 활용하여 프로젝티브화 및 코탄젠트 복합체의 Cox 링을 계산하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 완전 다양체에서 토르스 작용을 가진 Cox 링은 생성자와 관계의 관점에서 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 토르스 작용 하에서 다양체의 Cox 링과 그 최대 기하적 몫의 Cox 링 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 복잡도 1의 경우에 다면체 분할을 사용하여 Cox 링을 조합론적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 Orlik-Wagreich 그래프는 매끄러운 ${\mathbb{K}}^{*}$-표면의 Cox 링 구조를 어떻게 표현하는가?
• RQ5 피카르드 수가 2 이하인 고렌스타인 델 페초 ${\mathbb{K}}^{*}$-표면의 Cox 링은 명시적으로 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 복잡도 1인 토르스 작용을 가진 다양체의 Cox 링은 $\mathcal{R}(Y)[S_1,\ldots,S_m,T_{ij}]/\langle T_i^{l_i} - 1_{C_i} \rangle$ 와 동형이며, 여기서 $Y$ 는 $X_0/T$ 의 분리이다.
• 매끄러운 ${\mathbb{K}}^{*}$-표면의 경우, Cox 링은 Orlik-Wagreich 그래프를 통해 기술되며, 링의 구조에 대한 조합론적 불변량을 제공한다.
• 피카르드 수 $\leq 2$ 인 모든 고렌스타인 델 페초 ${\mathbb{K}}^{*}$-표면의 Cox 링이 명시적으로 계산되었다.
• 토릭 다양체 위의 랭크 2 토르스-equivariant 벡터 복합체의 프로젝티브화의 Cox 링은 이소트로피 순서를 포함하는 관계를 가진 다항식 확장을 통해 주어진다.
• 토릭 다양체 위의 코탄젠트 복합체의 Cox 링은 Klyachko의 필터링 자료를 사용하여 계산되며, 단항식과 삼항식을 통해 표현된다.
• 이 구성은 Cox의 토릭 다양체에 대한 결과를 일반화하며, 토릭 경우에서 다항식 링의 구조를 복원한다.