[논문 리뷰] The Crossing Tverberg Theorem

Radoslav Fulek, Bernd Gärtner외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 12.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Tverberg의 고전적 정리를 강화하는 Crossing Tverberg 정리를 제안한다. 이 정리는 d차원 공간 내 점 집합을 r개의 부분집합으로 나누어 그 볼록 hull이 공통의 점에서 만날 뿐 아니라, 쌍별로 공백이 아닌 경계 교차를 보장한다. 핵심 결과는 ℝᵈ 내 일반 위치에 있는 (d+1)r개의 점에 대해 항상 정점을 공유하지 않는 r개의 교차하는 단체(예: 2차원에서는 삼각형)를 찾을 수 있으며, 이들은 공통의 점을 공유하며, 평면에서는 최적의 bound인 ⌊n/3⌋개의 삼각형을 달성할 수 있다는 것이다.

ABSTRACT

The Tverberg theorem is one of the cornerstones of discrete geometry. It states that, given a set X of at least (d+1)(r-1)+1 points in R^d, one can find a partition X=X_1 cup ... cup X_r of X, such that the convex hulls of the X_i, i=1,...,r, all share a common point. In this paper, we prove a strengthening of this theorem that guarantees a partition which, in addition to the above, has the property that the boundaries of full-dimensional convex hulls have pairwise nonempty intersections. Possible generalizations and algorithmic aspects are also discussed. As a concrete application, we show that any n points in the plane in general position span floor[n/3] vertex-disjoint triangles that are pairwise crossing, meaning that their boundaries have pairwise nonempty intersections; this number is clearly best possible. A previous result of Alvarez-Rebollar et al. guarantees floor[n/6] pairwise crossing triangles. Our result generalizes to a result about simplices in R^d,d >=2.

연구 동기 및 목표

• Tverberg 분할에서 볼록 hull이 공통의 점에서 만날 뿐 아니라, 쌍별로 공백이 아닌 경계 교차를 보장함으로써 Tverberg 정리를 강화하는 것.
• 일반 위치에 있는 평면 점 집합에서 알려진 하한 ⌊n/6⌋개의 쌍별로 교차하는 삼각형과 이론적 최댓값 ⌊n/3⌋개 사이의 격차를 메우는 것.
• 결과를 d차원 단체로 일반화하고 ℝᵈ 내에서 정점이 분리되고 쌍별로 교차하는 단체에 대한 최적의 bound를 확립하는 것.
• 이러한 분할을 효율적으로 찾는 데 있어 알고리즘적 측면과 계산 복잡도를 탐색하는 것.
• 높은 차원에서 교차에 대해 더 강력한 위상 조건(예: 면의 연결)을 강제로 부여할 수 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• Tverberg 분할에서 부분집합의 볼록 hull이 공통의 점뿐만 아니라 경계도 교차하도록 보장하는 Tverberg 정리의 강화된 형태를 증명하는 것.
• Tverberg 분할에 기반한 구성적 접근을 사용하고, Carathéodory의 정리를 적용하여 크기가 d+1이 되도록 더 큰 집합을 축소하면서도 공통의 교차 점을 유지하는 것.
• 단체 부피의 사전순서를 활용하여 경계 교차를 보장하기 위해 반복적으로 Tverberg 분할을 수정하는 'Fixing Pairs' 절차를 도입하고 분석하는 것.
• 부피 기반 추론과 위상적 추론을 사용하여, 부피의 사전순서에서의 진전이 교차 분할로 수렴함을 보이는 것.
• SAT 솔버와 무작위 구현을 사용하여 3차원에서 반례를 구성함으로써, 더 강력한 연결 조건(예: 면의 연결)이 보장되지 않음을 보여주는 것.
• 결과를 고차원으로 일반화하고 완전 그래프의 의사선형 및 단순 그림에 대한 영향을 논의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공통의 점 외에도 모든 볼록 hull의 경계가 쌍별로 교차하도록 Tverberg 분할을 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반 위치에 있는 평면 내 n개의 점 집합에서 항상 최적의 bound인 ⌊n/3⌋개의 정점이 분리되고 쌍별로 교차하는 삼각형을 달성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 교차 Tverberg 분할을 효율적으로 찾는 데 있어 알고리즘적 및 계산 복잡도의 한계는 무엇인가?
• RQ4 높은 차원 Tverberg 분할에서 교차에 대해 더 강력한 위상 조건(예: 면의 연결)을 보장할 수 있는가?
• RQ5 결과는 완전 그래프의 그림, 특히 쌍별로 교차하는 변이나 삼각형에 대해 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• ℝᵈ 내 일반 위치에 있는 (d+1)r개의 점에 대해, 크기가 d+1인 r개의 부분집합으로 나누어 각각의 볼록 hull이 공통의 점을 공유하고 쌍별로 공백이 아닌 경계 교차를 보장하는 분할이 항상 존재한다.
• 평면에서는 일반 위치에 있는 n개의 점 집합이 항상 ⌊n/3⌋개의 정점이 분리되고 쌍별로 교차하는 삼각형을 포함하며, 이는 최적의 bound이며 이전의 bound ⌊n/6⌋을 향상시킨다.
• 결과는 d차원 단체로 일반화된다: ℝᵈ 내 일반 위치에 있는 n개의 점 집합은 항상 ⌊n/(d+1)⌋개의 정점이 분리되고 쌍별로 교차하는 d-단체를 포함한다.
• 논문은 3차원에서 2-면의 연결과 같은 더 강력한 조건을 보장할 수 없음을 보이며, 8개의 점과 원점을 포함하지만 연결된 면이 없는 두 개의 분리된 테트라하드론을 포함하는 반례를 구성함으로써 이를 입증한다.
• 이러한 교차 Tverberg 분할을 찾는 계산 복잡도는 여전히 열려 있으며, 문제는 PPAD ∩ PLS에 속해 있지만 다항 시간 알고리즘이 알려져 있지 않다.
• 논문은 결과를 의사선형 및 단순 그림의 완전 그래프로 확장하기 위한 이론적 기반을 제공하지만, 완전한 일반화는 아직 열려 있다.