[논문 리뷰] The De Bruijn-Newman constant is non-negative

Brad Rodgers, Terence Tao|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 18.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 뒷면 열방정식에 대한 Hₜ(z)의 영점의 역학적 분석을 통해 뉴먼의 추측을 증명한다. De Bruijn-Newman 상수 Λ가 음수가 아님을 보이며, Λ < 0을 가정할 경우 H₀의 영점이 국소 평형 상태에 있게 되어, 리만 제타 함수의 영점에 대한 알려진 쌍 상관 통계와 모순됨을 보인다.

ABSTRACT

For each $t \in {\bf R}$, define the entire function $$ H_t(x) := \int_0^\infty e^{tu^2} Φ(u) \cos(xu)\ du$$ where $Φ$ is the super-exponentially decaying function $$ Φ(u) := \sum_{n=1}^\infty (2π^2 n^4 e^{9u} - 3πn^2 e^{5u} ) \exp(-πn^2 e^{4u} ).$$ Newman showed that there exists a finite constant $Λ$ (the \emph{de Bruijn-Newman constant}) such that the zeroes of $H_t$ are all real precisely when $t \geq Λ$. The Riemann hypothesis is the equivalent to the assertion $Λ\leq 0$, and Newman conjectured the complementary bound $Λ\geq 0$. In this paper we establish Newman's conjecture. The argument proceeds by assuming for contradiction that $Λ&lt; 0$, and then analyzing the dynamics of zeroes of $H_t$ (building on the work of Csordas, Smith, and Varga) to obtain increasingly strong control on the zeroes of $H_t$ in the range $Λ&lt; t \leq 0$, until one establishes that the zeroes of $H_0$ are in local equilibrium, in the sense that locally behave (on average) as if they were equally spaced in an arithmetic progression, with gaps staying close to the global average gap size. But this latter claim is inconsistent with the known results about the local distribution of zeroes of the Riemann zeta function, such as the pair correlation estimates of Montgomery.

연구 동기 및 목표

• De Bruijn-Newman 상수 Λ ≥ 0라는 뉴먼의 추측을 해결하는 것.
• 리만 가설이 참이라면, Λ가 음수가 될 수 없음을 증명함으로써 리만 가설이 '단지 약간' 성립한다는 것을 밝히는 것.
• Λ < 0을 가정할 경우, 리만 제타 함수의 비자명한 영점의 통계적 성질과 모순됨을 보이는 것.
• Λ < 0을 가정할 경우, 영점 간의 상호작용을 국소 평형 조건으로 강화하는 것.
• 몬고메리의 쌍 상관 정리가 예측하는 리만 제타 함수의 영점 분포는 Λ < 0에 의해 암시되는 평형 행동과 불일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 뒷면 열방정식 ∂ₜHₜ = −∂_{zz}Hₜ에 따라 Hₜ(z)의 영점의 진화를 분석한다.
• Csordas, Smith, Varga의 반발력 메커니즘을 적용하여 음수 Λ가 영점이 가까이 밀집하는 것을 방지함을 보인다.
• Λ < 0일 경우, H₀의 영점은 국소 평형 상태에 있어야 하며, 이는 평균적으로 등간격으로 배열된 점들과 유사하게 행동함을 증명한다.
• 구간 K에서의 영점 간격 규칙성을 수량화하기 위해 에너지 함수 E^K(t)를 사용하고, 시간에 따라 그 변화를 추적한다.
• 가우시안 유니터리 군(GUE) 가설을 적용하여 제타 영점의 통계적 분포를 모델링하고, 평형 가정에서 도출된 결과와의 불일치를 유도한다.
• 몬고메리의 쌍 상관 정리에 의해, 평균보다 작은 간격을 가진 영점의 비율이 양의 비율을 차지함을 보이며, 이는 평형 조건을 위반함을 모순으로 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 뉴먼이 추측한 바와 같이 De Bruijn-Newman 상수 Λ는 Λ ≥ 0를 만족하는가?
• RQ2 Λ < 0일 경우, t가 Λ에 가까워질 때 Hₜ(z)의 영점 분포는 어떻게 되는가?
• RQ3 H₀의 영점이 국소 평형 상태일 수 있는가? 이는 리만 제타 함수의 비자명한 영점에 대한 알려진 통계적 쌍 상관 데이터와 일치하는가?
• RQ4 Λ < 0일 경우, 영점 간의 반발력이 충분히 강해져 국소 군집을 방지할 수 있으며, 이는 모순을 유도하는가?
• RQ5 Λ < 0을 가정할 경우, 리만 제타 함수의 연속된 영점 간격이 점점 평균 간격에 수렴하는가? 이는 알려진 결과와 모순되는가?

주요 결과

• De Bruijn-Newman 상수는 Λ ≥ 0를 만족하며, 이는 뉴먼의 추측을 확인한다.
• Λ < 0을 가정할 경우, H₀의 영점은 국소 평형 상태에 있어야 하며, 이는 그 간격이 평균적으로 점점 균일해짐을 의미한다.
• 국소 평형 조건은 연속된 비자명한 리만 제타 함수의 영점 간격이 점점 평균 간격 4π/log T와 같아짐을 암시한다.
• 이것은 몬고메리의 쌍 상관 정리와 모순된다. 몬고메리의 정리는 일부 비율의 연속된 영점 간격이 평균보다 엄밀히 작다는 것을 보여주며, 평형 조건을 위반한다.
• 이 모순은 평형 가정이 간격을 평균 주변으로 매우 좁게 집중시키지만, 쌍 상관 이론은 자주 작은 간격이 존재함을 예측하기 때문에 발생한다.
• 따라서 Λ < 0의 가정은 타당하지 않으며, Λ는 반드시 ≥ 0이어야 한다.