[논문 리뷰] The de Rham realization of the elliptic polylogarithm in families

René Achim Scheider|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 타원 다중로그 함수의 de Rham 실현을 아벨 스킴 위의 가중치에서 로그층과 D-모듈 등으로 구성된 가중치 가중치를 통해 구축하며, Eisenstein 급수와 Siegel 단위를 통해 D-버전의 다중로그 함수에 대한 명시적 해석적 특성화를 증명한다. 핵심 결과는 토피컬 섹션을 따라 전문화함으로써 de Rham Eisenstein 클래스를 모듈러 형식과 연결함으로써, 이러한 클래스가 모듈러 형식과 Kodaira-Spencer 사상에 의해 모티브적이고 코homological하게 어떻게 기술되는지를 밝힌다.

ABSTRACT

This thesis establishes a geometric approach to the de Rham realization of the polylogarithm. As a central result we construct the logarithm sheaves of rational abelian schemes in terms of the birigidified Poincaré bundle with universal integrable connection on the product of the abelian scheme and the universal vectorial extension of its dual. This is achieved essentially by restricting the mentioned data of the Poincaré bundle along the infinitesimal neighborhoods of the zero section of the universal extension. We also clarify how these constructions naturally express within the language of the Fourier-Mukai transformation for $\mathcal D$-modules on abelian schemes. Our geometric perspective moreover permits an interpretation of fundamental formal properties of the logarithm sheaves within the standard theory of the Poincaré bundle. For a relative elliptic curve we additionally present a related viewpoint on the first logarithm extension via $1$-motives. Having developed in detail the outlined geometric understanding of the logarithm sheaves, we then exploit it systematically for an investigation of the polylogarithm for the universal family of elliptic curves with level $N$ structure. A main theorem of the work gives an explicit analytic description for a variant of the small elliptic polylogarithm via the coefficient functions appearing in the Laurent expansion of a meromorphic Jacobi form defined by Kronecker in the 19th century. Furthermore, using the previous result, we determine the specialization of the modified polylogarithm along torsion sections concretely in terms of certain algebraic Eisenstein series. From this we regain in particular the known expressions of the de Rham Eisenstein classes by algebraic modular forms.

연구 동기 및 목표

• 아벨 스킴 위의 가중치에서 타원 다중로그 함수의 de Rham 실현을 구성, 특히 일반 타원 곡선에서의 경우를 포함하여.
• 로그층과 유니포텐트 D-모듈을 사용하여 다중로그 함수의 D-버전에 대한 모티브적이고 코homological한 해석을 수립.
• 다중로그 함수의 D-버전이 토피컬 섹션을 따라 전문화되는 방식을 Eisenstein 급수와 Siegel 단위를 통해 명시적으로 서술.
• Kodaira-Spencer 동형사상과 Poincaré 대칭을 통해 얻어진 코homology 클래스를 모듈러 형식과 연결.
• Fourier-Mukai 변환과 유리형 Jacobi 형식을 사용하여 다중로그 함수와 그 D-버전의 완전한 해석적 특성화를 제공.

제안 방법

• 아벨 스킴 위의 de Rham 코hom로지층의 보편 유니포텐트 확장을 로그층으로 구성.
• 보편 벡터성 확장 위에서 Fourier-Mukai 변환을 적용하여 로그층과 Poincaré 번들을 연결.
• D-모듈 이론과 통합 연결을 사용하여 다중로그 함수의 D-버전을 정의하고 분석.
• 유리형 Jacobi 형식과 Eisenstein 급수를 사용하여 로그층의 해석적 구조를 서술.
• 해석화 함수를 적용하여 대수적 de Rham 코hom로지와 보편 타원 곡선 위의 해석적 대상 간의 관계를 설정.
• 수축 사상과 Poincaré 대칭을 사용하여 다중로그 함수로부터 de Rham Eisenstein 클래스를 정의하고 계산.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원 다중로그 함수는 아벨 스킴의 가중치 가중치에서 어떻게 de Rham 코hom로지에 실현될 수 있는가?
• RQ2 보편 타원 곡선 위에서 다중로그 함수의 D-버전에 대한 명시적 해석적 서술은 무엇인가?
• RQ3 D-버전의 토피컬 섹션을 따라 전문화된 결과는 어떤 방식으로 모듈러 형식과 Eisenstein 급수와 관련되는가?
• RQ4 1-모티브와 de Rham-Manin 사상에 대해 첫 번째 로그 확장 클래스의 모티브적 해석은 무엇인가?
• RQ5 de Rham Eisenstein 클래스는 어떻게 명시적으로 계산되고 Siegel 단위 및 모듈러 형식과 연결되는가?

주요 결과

• D-버전의 다중로그 함수는 토피컬 섹션을 따라 전문화되어, Eisenstein 급수와 모듈러 형식에 의해 명시적으로 서술된 코homology 클래스가 된다.
• D ≡ 1 mod N일 때, n차 de Rham Eisenstein 클래스 Eisn(ta,b)는 H^1_dR(S/Q, Sym^n H^1)에서 Eisn(ta,b) = −N^{n−1} (−1)^n / n! · F^{(n+2)}(a/N, b/N)로 주어지며, 여기서 F^{(n+2)}는 Eisenstein 급수에 관련된 모듈러 형식이다.
• 차수 0 전문화인 Eis0(ta,b)는 H^1_dR(S/Q)에서 −N^{−1} dlog(g(a/N, b/N))와 같다. 여기서 g(a/N, b/N)는 Siegel 단위이다.
• 차수 n에서의 D-버전 다중로그 함수는 다음 공식을 통해 de Rham Eisenstein 클래스와 관련된다: t^*_{a,b}(pol^n_D) = −N^{1−n} (D^2 Eis^n(ta,b) − D^{−n} Eis^n(t_{Da,Db})).
• 해석화와 기본 유리형 Jacobi 형식을 포함하는 교환도형을 통해 로그층의 해석적 특성화가 확립된다.
• 모티브적 de Rham-Manin 사상은 첫 번째 로그 확장 클래스를 형식 F^{(2)}(a/N, b/N)의 이미지로 식별하며, 이를 (3.8.38)에 의해 정의된 사상과 연결함으로써 Kodaira-Spencer 클래스와 연관지운다.