[논문 리뷰] The definable content of homological invariants I: $\mathrm{Ext}$ & $\mathrm{lim}^1$

Jeffrey Bergfalk, Martino Lupini외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 20.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적 호모로지 불변량—특히 Ext(B, F)와 lim¹(A)—을 기능적으로 정의된 것으로 개선하여, 그들을 프로이트르 코팅을 가진 군의 범주로 보는 방식을 제안한다. 여기서 사상은 정의 가능한 준동형사상이다. 정의 가능한 Ext(−, ℤ)가 자유 합성원이 없는 유한 계수 순환 없는 아벨 군의 범주에서 완전 충실함을 증명하며, 고전적 불변량이 해결하지 못한 기수의 격차를 해결하고, 카노베이 및 레이켄이 제기한 p진 수의 몫에 관한 질문에 답한다.

ABSTRACT

This is the first installment in a series of papers in which we illustrate how classical invariants of homological algebra and algebraic topology can be enriched with additional descriptive set-theoretic information. To effect this enrichment, we show that many of these invariants can be naturally regarded as functors to the category, introduced herein, of groups with a Polish cover. The resulting definable invariants provide far stronger means of classification. In the present work we focus on the first derived functors of $\mathrm{Hom}(-,-)$ and $\mathrm{lim}(-)$. The resulting definable $\mathrm{Ext}(B,F)$ for pairs of countable abelian groups $B,F$ and definable $\mathrm{lim}^{1}(\boldsymbol{A})$ for towers $\boldsymbol{A}$ of Polish abelian groups substantially refine their classical counterparts. We show, for example, that the definable $ extrm{Ext}(-,\mathbb{Z})$ is a fully faithful contravariant functor from the category of finite rank torsion-free abelian groups $\Lambda$ with no free summands; this contrasts with the fact that there are uncountably many non-isomorphic such groups $\Lambda$ with isomorphic classical invariants $ extrm{Ext}(\Lambda,\mathbb{Z}) $. To facilitate our analysis, we introduce a general Ulam stability framework for groups with a Polish cover and we prove several rigidity results for non-Archimedean abelian groups with a Polish cover. A special case of our main result answers a question of Kanovei and Reeken regarding quotients of the $p$-adic groups. Finally, using cocycle superrigidity methods for profinite actions of property (T) groups, we obtain a hierarchy of complexity degrees for the problem $\mathcal{R}(\mathrm{Aut}(\Lambda)\curvearrowright\mathrm{Ext}(\Lambda,\mathbb{Z}))$ of classifying all group extensions of $\Lambda$ by $\mathbb{Z}$ up to base-free isomorphism, when $\Lambda =\mathbb{Z}[1/p]^{d}$ for prime numbers $p$ and $ d\geq 1$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 호모로지 불변량인 Ext 및 lim¹을 기능적 집합론적 구조로 부여하기 위해, 그들을 프로이트르 코팅을 가진 군의 범주로 포함시키는 것.
• 고전적 불변량의 한계를 해결하기 위해, 서로 이sovomorphic 이지만 기수적으로 비가산 수의 비이sovomorphic 유한 계수 순환 없는 아벨 군들이 존재하는 문제를 다루는 것.
• 새로운 울람 안정성 프레임워크를 사용하여, 프로이트르 코팅을 가진 비아르키메데스 아벨 군에 대한 강성 결과를 수립하는 것.
• 자동형사상의 작용을 통한 군의 확장 분류 문제의 보렐 감소 복잡도를 분석하며, 특히 Λ = ℤ[1/p]^d의 경우에 초점을 맞추는 것.
• 카노베이 및 레이켄이 제기한, p진 수 군의 몫에 관한 질문을 해결하기 위해, 특정 안정성 조건 하에서 정의 가능한 준동형사상이 자명함을 보이는 것.

제안 방법

• 프로이트르 코팅을 가진 군의 범주를 도입한다. 여기서 객체는 G/N이며 G는 프로이트르이고 N는 프로이트러블리화 가능한 군이며, 사상은 Borel 사상으로 올라가는 정의 가능한 준동형사상이다.
• 비아르키메데스 아벨 군에 대해 프로이트르 코팅을 가진 군에 대한 일반적인 울람 안정성 프레임워크를 개발하여, 위상적 및 대수적 제약 조건 하에서 강성 결과를 도출한다.
• 성질 (T)를 가진 군의 프로파일린 액션에 대한 코호몰로지 초강성 정리들을 적용하여, Ext(Λ, ℤ)에서의 분류 문제의 복잡도를 분석한다.
• 정의 가능한 준동형사상이 Borel 사상으로 올라간다는 사실을 활용하여, 고전적 군의 구조만으로는 분석할 수 없는 더 정교한 동형 유형 분석이 가능하다.
• 프로파일린 군의 구조와 그들이 Q_p^d 위에 작용하는 방식을 활용하여, 분류 문제를 알려진 보렐 감소 계층으로 환원한다.
• 일부 궤적 동치 관계 위에서의 작용이 에르고딕적이고, 정수형 사상으로 동치임을 증명하며, 강성 조건이 강할 경우 비자명한 정의 가능한 준동형사상이 존재할 수 없음을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 호모로지 불변량인 Ext(B, F) 및 lim¹(A)는 기능적 집합론을 통해 더 많은 동형 유형을 구별할 수 있도록 개선될 수 있는가?
• RQ2 정의 가능한 Ext(−, ℤ) 함자 는 자유 합성원이 없는 유한 계수 순환 없는 아벨 군의 범주에서 완전 충실한가?
• RQ3 Λ = ℤ[1/p]^d 에 대해, 기저 없는 동형에 관해 ℤ에 대한 확장을 분류하는 문제의 보렐 감소 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 일부 프로파일린 군의 작용에 대한 궤적 동치 관계에서 다른 궤적 동치 관계로의 정의 가능한 준동형사상은 강성 가정 하에 반드시 자명한 사상으로 인수화되는가?
• RQ5 프로이트르 코팅을 가진 군에 대한 울람 안정성 프레임워크는 카노베이 및 레이켄이 제기한 p진 수 군의 몫에 관한 열린 질문을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 정의 가능한 Ext(−, ℤ)는 자유 합성원이 없는 유한 계수 순환 없는 아벨 군의 범주에서 반대함자로서 완전 충실하다. 이는 기하급수적으로 많은 비이sovomorphic 군들이 고전적 Ext(Λ, ℤ)에서 동형임을 보여주는 문제를 해결한다.
• 주요 강성 결과의 특수한 경우는 카노베이 및 레이켄의 질문에 답한다: 서로 다른 소수 p, q에 대해, 소수 p에 대한 프로-군인 소스에서 소수 q에 대한 프로-군인 타겟으로의 정의 가능한 준동형사상은 자명하다.
• Λ = ℤ[1/p]^d (d ≥ 1, 소수 p) 인 경우, Aut(Λ) ↷ Ext(Λ, ℤ) 작용은 E_0 동치 관계로 제한되는 복잡도를 가진 정의 가능한 분류 문제를 가지며, 궤적 동치 관계는 E_0-에르고딕적이다.
• Γ ≤ SL_m(ℤ) 이며 성질 (T)를 가지며 m ≥ 3 이면, 궤적 동치 관계 R(Γ ⋉ ℤ[1/q]^m ↷ ℚ_q^m) 는 F-에르고딕적이다. 이는 보렐 감소 계층에서 높은 복잡도를 나타낸다.
• 코호몰로지 초강성 정리를 사용하여, Γ 가 성질 (T)를 가지며 Δ ≤ GL_d(ℚ), p ≠ q 이면, R(Γ ⋉ p^nℤ^m ↷ p^nℤ_p^m) 에서 R(Δ ⋉ ℚ^d ↷ ℚ_q^d) 로의 거의 모든 곳에서의 준동형사상은 정수형 사상으로 동치임을 보였다.
• 정의 가능한 준동형사상의 범주를 통해 고전적 군론적 접근보다 더 정교한 군의 확장 분류가 가능하며, 특히 프로파일린 군의 작용과 울람 안정성의 맥락에서 유의미하다.