[논문 리뷰] The Deformation Space of Calabi-Yau n-folds with canonical singularities can be obstructed

Mark Gross|ArXiv.org|1994. 02. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 2인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 캘리비-야우 $n$-fold의 계량 특이점이 있는 변형 공간이 차단될 수 있음을 보여주는 반례를 구성한다. 이를 위해, 매끄러운 캘리비-야우의 한 가중치와 종단 특이점을 가진 캘리비-야우의 다른 가중치의 교차에 놓인 캘리비-야우 $n$-fold $X$를 제시함으로써, $X$에서의 쿠라니시 공간이 비특이적이 아니므로 변형 이론이 차단됨을 증명한다.

ABSTRACT

This paper gives a simple example of a family of Calabi-Yaus of any dimension with canonical singularities of dimension one, whose Kuranishi space is singular. Thus the Bogomolov-Tian-Todorov unobstructedness theorem is not true for Calabi-Yaus with canonical singularities.

연구 동기 및 목표

• 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold의 변형 공간이, 더 가벼운 특이점의 경우와 마찬가지로 비차단되는지 여쭙는다.
• 계량 특이점이 항상 비차단 변형 이론을 유도한다는 추측에 대한 반례를 제공한다.
• 이러한 캘리비-야우의 모듈리 공간이 특정 점에서 비가역적이며 비특이적일 수 있음을 보여준다.
• 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold의 쿠라니시 공간이 비특이적일 수 있으며, 이는 변형 이론이 차단됨을 의미한다.

제안 방법

• 프로젝티브 번들의 사용을 통해 두 개의 서로 다른 캘리비-야우 $n$-fold의 가중치를 구성한다: $P_1 = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus(n+1)})$ 및 $P_2 = \mathbb{P}(\mathcal{E})$, 여기서 $\mathcal{E} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus(n-1)} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$.
• 캘리비-야우 $n$-fold를 $H^0(\omega_{P_i}^{-1})$ 안의 단면의 영점으로 정의하며, 일반적인 $s$에 대해 $X_1(s)$는 매끄럽고, $X_2(s)$는 $P_2$에 포함된 곡선 $C$에 따라 계량 특이점을 가진다.
• 짧은 정확한 수열에 의해 유도된 $S^{n+1}\mathcal{E}$ 위의 필터레이션을 사용하여 층 코homology를 분석하고, 계량 특이점을 유도하는 단면들의 부분공간 $V \subset H^0(\omega_{P_2}^{-1})$를 구성한다.
• 일반적인 확장 번들의 $\mathcal{F}$를 사용하여 $T = \mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1$ 위에서 평탄한 가중치 $\mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$를 구성한다. 이때 $\mathcal{X}_1$은 매끄럽고, $\mathcal{X}_0 = X_2(s)$ ($s \in V$)이다.
• Grauert의 정리를 적용하고 제한 사상 $\phi_x$를 분석하여 $\phi_0$의 상이 정확히 $V$임을 보이며, 이는 $X_2(s)$가 매끄러운 캘리비-야우와 변형 동치임을 보장한다.
• 레마 2.1을 통해 쿠라니시 공간이 $X_2(s)$에서 비특이적이며, 따라서 변형 이론이 차단됨을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold의 변형 공간은 비차단되는가?
• RQ2 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold가 두 개의 서로 다른 캘리비-야우 $n$-fold 가중치의 교차에 놓일 수 있는가?
• RQ3 이러한 점이 모듈리 공간에 존재할 경우 변형 이론이 차단됨을 의미하는가?
• RQ4 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold의 쿠라니시 공간이 비특이적일 수 있는가?
• RQ5 계량 특이점을 가진 캘리비-야우를 매끄럽게 유지하면서, 이를 매끄러운 캘리비-야우로 연결하는 변형 가중치가 존재하는가?

주요 결과

• 곡선 $C \subset P_2$에 따라 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold $X_2(s)$의 쿠라니시 공간은 $X_2(s)$에서 비특이적이며, 이는 변형 이론이 차단됨을 증명한다.
• $n \geq 3$일 때, 계량 특이점을 가진 캘리비-야우 $n$-fold $X_2(s)$가 $\mathbb{A}^1$ 위의 평탄한 가중치를 통해 매끄러운 캘리비-야우 $n$-fold $X_1(s')$와 변형 동치가 된다.
• $\mathcal{F}$를 사용하여 구성된 가중치 $\mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$는 $\mathcal{X}_1 = X_1(s')$ (매끄럽고) 및 $\mathcal{X}_0 = X_2(s)$ (계량 특이점)를 만족한다.
• $\phi_0$의 제한 사상은 정확히 $V = H^0(G^{n-1}(2))$의 상을 가지며, 이는 계량 특이점을 유도하는 단면들과 대응되며, 이는 두 유형을 연결하는 가중치를 보장한다.
• 캘리비-야우 $n$-fold의 모듈리 공간은 $X_2(s)$에서 비가역적이다. 이는 매끄러운 캘리비-야우의 구성요소와 종단 특이점을 가진 캘리비-야우의 구성요소의 교차에 있기 때문이다.
• $n=3$일 때 $X_2(s)$는 비특이적이지만, $n>3$일 때는 $C$에 따라 승수 $\lfloor n/2 \rfloor$의 특이점을 가지며, $s \in V$이면 여전히 계량 특이점을 가진다.