[논문 리뷰] The degenerate Heisenberg category and its Grothendieck ring

Jonathan Brundan, Alistair Savage외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 임의의 정수 중심 전하 $k \in \mathbb{Z}$ 에서 열림 없는 히젠베르그 카테고리의 덧셈 카루비 에누벨의 그로텐디크 링이 무한차원 히젠베르그 리 대칭대수의 유니버설 코팅 대수의 $\mathbb{Z}$-형과 동형임을 증명하며, 코반노프의 추측을 확인하고 이를 임의의 $k$로 확장한다. 증명은 스트링 다이어그램과 분류된 코곱 연산 관계를 통해 대수적 구조의 분류화를 수립한다.

ABSTRACT

The degenerate Heisenberg category $\mathcal{H}eis_k$ is a strict monoidal category which was originally introduced in the special case $k=-1$ by Khovanov in 2010. Khovanov conjectured that the Grothendieck ring of the additive Karoubi envelope of his category is isomorphic to a certain $\mathbb{Z}$-form for the universal enveloping algebra of the infinite-dimensional Heisenberg Lie algebra specialized at central charge $-1$. We prove this conjecture and extend it to arbitrary central charge $k \in \mathbb{Z}$. We also explain how to categorify the comultiplication (generically).

연구 동기 및 목표

• 열림 없는 히젠베르그 카테고리의 덧셈 카루비 에누벨의 그로텐디크 링이 중심 전하 $k = -1$ 에서 무한차원 히젠베르그 리 대칭대수의 유니버설 코팅 대수의 $\mathbb{Z}$-형과 동형임을 증명하는 코반노프의 추측을 입증한다.
• 이 동형을 임의의 정수 중심 전하 $k \in \mathbb{Z}$ 로 일반화하여 원래의 추측을 확장한다.
• 일반 중심 전하에서 유니버설 코팅 대수 $U(\mathfrak{h})$ 의 코곱 연산에 대한 분류화를 제공한다.
• 그로텐디크 링과 $k$-변형된 내적을 가진 대칭 함수의 링 사이의 표준 동형을 확립한다.
• 카테고리가 엄격한 펄서피컬 구조를 지니며, 그 객체들이 양-심메트라이저를 통해 셀러 함수를 분류화함을 보여준다.

제안 방법

• 유니버설 코팅 대수 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ 를 기반으로 한 생성자와 관계를 갖는 엄격한 $k$-선형 모나이드 카테고리로 열림 없는 히젠베르그 카테고리 $\mathrm{Heis}_k$ 를 구성한다.
• 덧셈 카루비 에누벨의 그로텐디크 링 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 는 $\mathrm{Heis}_k$ 의 분할 그로텐디크 군으로 정의되며, 텐서곱을 통한 곱셈을 갖는다.
• 스트링 다이어그램 계산을 사용하여, 두꺼운 띠, 교차, 컵, 캡, 버블을 포함한 사상들을 표현하며, 대칭 함수와 $k$-변형된 내적에서 유도된 관계를 사용한다.
• 분류된 셀러 함수의 클래스로 생성자를 보낸다. $\gamma_k: \mathrm{Heis}_k \to K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 는 링 준동형을 정의한다.
• 분할과 $k$-유계 분할에 따라 인덱싱된 직접합과의 명시적 동형을 구성함으로써 $\gamma_k$ 의 전성함을 증명한다.
• 역할 $\Omega_k$ 와 쌍대원소를 사용하여 $k$ 와 $-k$ 에서의 카테고리 간의 관계를 설정하고, 귀납법과 다이어그램 식별식을 적용하여 핵심 동형 정리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해, 열림 없는 히젠베르그 카테고리의 덧셈 카루비 에누벨의 그로텐디크 링이 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ 의 $\mathbb{Z}$-형과 동형인가?
• RQ2 유니버설 코팅 대수 $U(\mathfrak{h})$ 의 코곱 연산은 $\mathrm{Heis}_k$ 의 맥락에서 분류화될 수 있는가?
• RQ3 카테고리 $\mathrm{Heis}_k$ 는 그 모나이드 및 쌍대 구조와 호환되는 엄격한 펄서피컬 구조를 지니는가?
• RQ4 그로텐디크 링 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 에서 분류된 셀러 함수의 클래스 $[S^\pm_\lambda]$ 는 선형 독립이며 링을 생성하는가?
• RQ5 동형 $\gamma_k$ 는 코곱 및 쌍대원소를 포함한 호프 대수의 구조로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 그로텐디크 링 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 는 유니버설 코팅 대수 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ 의 $\mathbb{Z}$-형 $\mathrm{Heis}_k$ 와 동형이며, 모든 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 코반노프의 추측을 증명한다.
• 동형 $\gamma_k: \mathrm{Heis}_k \to K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 는 단사 및 전사이며, $s^\pm_\lambda \mapsto [S^\pm_\lambda]$ 를 만족하며, $[X] = 0$ 이면 $\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k)$ 에서 $X = 0$ 이다.
• $k \geq 0$ 인 경우, 다이어그램의 열 벡터로 정의된 사상 $\theta_{m,n}$ 은 $H^+_m \otimes E^-_n$ 과 $\bigoplus_{r=0}^{\min(m,n)} \bigoplus_{\lambda \in P_{r,k}} E^-_{n-r} \otimes H^+_{m-r}$ 사이의 표준 동형을 제공하며, 그로텐디크 링 내의 핵심 관계를 증명한다.
• $k = l + m$ 인 경우, $\delta_{l|m}: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_l \otimes \mathrm{Heis}_m$ 의 코곱은 카테고리의 모나이드 함자 구조를 통해 명시적인 다이어그램 공식을 통해 분류화된다.
• 역할 $\Omega_k$ 와 쌍대원소 $\sigma_k$ 는 각각 $\Omega_k: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_{-k}$ 와 $\sigma_k: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_{-k}^{\mathrm{op}}$ 를 만족하며, 분류된 대수적 구조를 유지한다.
• 카테고리 $\mathrm{Heis}_k$ 는 엄격한 펄서피컬이며, 다이어그램의 180도 회전을 통해 쌍대 구조가 주어지며, 객체 $\mathbf{1}$ 과 $\mathbf{1}^*$ 는 상호 쌍대이다.