[논문 리뷰] The Denominators of Power Sums of Arithmetic Progressions

Bernd C. Kellner, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 15.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 산술급수의 거듭제곱합의 분모에 대한 명시적 공식을 유도하며, 베르누이의 고전적 공식을 확장한다. 다항계수의 정수성에 대한 기준을 수립하고, 베르누이 다항식의 연속된 분모의 비율이 유한 번 이상 정수임을 밝히며, 이를 위해 $p$진 자리수 합과 분모의 근본적 함수 및 최소공배수의 성질을 사용한다.

ABSTRACT

In a recent paper the authors studied the denominators of polynomials that represent power sums by Bernoulli's formula. Here we extend our results to power sums of arithmetic progressions. In particular, we obtain a simple explicit criterion for integrality of the coefficients of these polynomials. As applications, we obtain new results on the sequence of denominators of the Bernoulli polynomials. A consequence is that certain quotients of successive denominators are infinitely often integers, which we characterize.

연구 동기 및 목표

• 고전적 거듭제곱합의 알려진 분모 공식을 산술급수 위의 거듭제곱합으로 확장하기 위해.
• 이 일반화된 거듭제곱합 다항식의 계수가 정수일 조건을 도출하기 위해.
• 연속된 베르누이 다항식의 분모 비율이 유한 번 이상 정수임 조건을 특성화하기 위해.
• 기저-$p$ 자리수 합과 근본적 함수가 이러한 분모의 구조를 결정하는 데 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 베르누이 공식을 사용하여 산술급수의 거듭제곱합인 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$의 분모에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 베르누이 다항식의 인자 변환을 통해 고전적 분모 공식 $S_n(x)$를 일반화된 경우에 적용한다.
• 분모 $\mathbb{D}_n = \operatorname{denom}(B_n(x) - B_n)$의 소인수를 기술하기 위해 기저-$p$ 자리수 합 $s_p(n)$을 사용한다.
• 근본적 함수 $\operatorname{rad}(k)$와 최소공배수를 사용하여 $\mathfrak{D}_n = \operatorname{denom}(B_n(x))$ 및 $\mathbf{D}_n = \operatorname{denom}(B_n)$를 표현한다.
• 자리수 합 $s_p(q^k)$의 점근적 경계를 활용하여 $s_p(q^k) \to \infty$임을 증명함으로써, 무한히 자주 정수인 비율을 특성화할 수 있도록 한다.
• 알름키스트와 모어만의 유리수 점에서 정수 값을 갖는 베르누이 다항식 평가에 관한 결과를 활용하여 주요 정리를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$의 계수가 $\mathbb{Z}[x]$에 속하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비율 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1}$ 및 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1}$이 유한 번 이상 정수인 경우는 언제인가?
• RQ3 기저-$p$ 자리수 합 $s_p(n)$과 근본적 함수 $\operatorname{rad}(n+1)$은 어떻게 베르누이 다항식의 분모의 구조를 결정하는가?
• RQ4 매개수 $m$과 $r$를 가진 산술급수 위에서의 거듭제곱합 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$의 분모에 대한 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ5 분모 $\operatorname{denom}(\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x))$가 $r$에 독립적인 이유는 무엇인가, 이는 어떤 대수적 구조에서 기인하는가?

주요 결과

• $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$의 분모는 $\frac{n+1}{\gcd(n+1,m^n)} \cdot \frac{\mathbb{D}_{n+1}}{\gcd(\mathbb{D}_{n+1},m)}$로 주어지며, 이는 $r$에 독립적이다.
• 다항식 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$가 $\mathbb{Z}[x]$에 속하는 것은 $\mathfrak{D}_n \mid m$일 때이고, 여기서 $\mathfrak{D}_n = \operatorname{lcm}(\mathbb{D}_n, \mathbf{D}_n)$이다.
• 비율 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1}$는 유한 번 이상 정수이며, 이 비율이 1, 2, 또는 홀수 소수 $p$가 되는 경우를 특성화한다.
• $n = 2^k - 1$일 때, $n+1$이 2의 거듭제곱이 아니면 비율 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1} = 2$이며, 그렇지 않으면 $n+1$의 기저-$p$ 자리수 합에 따라 1 또는 $p$가 된다.
• 홀수 소수 $p$에 대해 $n = p^k - 1$이면 비율 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1} = p$이며, $n = p^k q^\ell - 1$이면 비율은 $s_p(q^\ell)$와 $s_q(p^k)$의 자리수 합에 따라 $1$, $p$, $q$, 또는 $pq$가 된다.
• 모든 $n \geq 2$인 짝수 $n$에 대해 비율 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1}$는 항상 홀수이며, 분모의 구조는 $\mathfrak{D}_n$의 제곱무리수성과 짝수성에 의해 결정된다.