[논문 리뷰] The density of expected persistence diagrams and its kernel based estimation

Frédéric Chazal, Vincent Divol|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 28.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 33인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 데이터의 기대 영속도 다이어그램—예를 들어 리프스 또는 체르 필트레이션을 통한 점 구름, 또는 브라운 운동의 하위레벨 집합—이 넓은 조건 하에서 르베그 밀도를 가짐을 입증한다. 또한 인기 있는 위상적 특징 맵인 영속도 표면이 이 기저 밀도의 커널 밀도 추정기임을 보이며, 통계적으로 일致하는 교차검증을 통한 대역폭 선택 방법을 제안한다.

ABSTRACT

Persistence diagrams play a fundamental role in Topological Data Analysis where they are used as topological descriptors of filtrations built on top of data. They consist in discrete multisets of points in the plane $\mathbb{R}^2$ that can equivalently be seen as discrete measures in $\mathbb{R}^2$. When the data come as a random point cloud, these discrete measures become random measures whose expectation is studied in this paper. First, we show that for a wide class of filtrations, including the Čech and Rips-Vietoris filtrations, the expected persistence diagram, that is a deterministic measure on $\mathbb{R}^2$ , has a density with respect to the Lebesgue measure. Second, building on the previous result we show that the persistence surface recently introduced in [Adams & al., Persistence images: a stable vector representation of persistent homology] can be seen as a kernel estimator of this density. We propose a cross-validation scheme for selecting an optimal bandwidth, which is proven to be a consistent procedure to estimate the density.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 랜덤 필트레이션 모델 하에서 기대 영속도 다이어그램의 르베그 밀도 존재성을 입증하는 것.
• 영속도 표면과 기대 다이어그램의 커널 밀도 추정 간의 공식적 연결 고리를 규명하는 것.
• 위상적 특징의 커널 밀도 추정에서 대역폭 선택을 위한 통계적으로 일관된 교차검증 절차를 개발하는 것.
• 통계학적 학습에서 위상적 서술자에 대한 비점근 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 영속도 다이어그램을 R² 상의 이산 측도로 표현하여 기대값에 대한 측도론적 분석을 가능하게 한다.
• 리프스-비에토리스, 체르 필트레이션, 브라운 운동의 하위레벨 집합을 포함한 광범위한 필트레이션 클래스에 대해, 기대 다이어그램이 르베그 측도에 대해 밀도를 가짐을 증명한다.
• 가중치 함수와 스무딩 커널을 사용하여 영속도 표면을 이 기저 밀도의 커널 밀도 추정기로 식별한다.
• 통합 제곱오차의 경험적 추정치를 최소화하는 방식으로 최적의 대역폭 행렬을 선택하기 위한 교차검증 체계를 제안한다.
• 합성 데이터와 실제 데이터(예: 스마트폰 가속도계 시계열)에 이 방법을 적용하여 성능을 검증한다.
• 대역폭의 로그 스케일 그리드를 사용하고, 다이어그램 간 쌍별 커널 평가를 기반으로 점수를 계산하여 최적의 스무딩 파라미터를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리프스 및 체르 필트레이션과 같은 일반적인 필트레이션에 대해 기대 영속도 다이어그램이 르베그 밀도를 갖는가?
• RQ2 영속도 표면은 기대 영속도 다이어그램의 커널 밀도 추정기로 해석될 수 있는가?
• RQ3 영속도 표면 추정에서 대역폭 선택을 위한 원칙적이고 일관된 방법이 존재하는가?
• RQ4 교차검증 절차는 합성 및 실제 데이터에서 실질적으로 어떻게 작동하는가?
• RQ5 변동성이 존재하는 상황에서 진짜 위상 신호를 회복하면서 노이즈를 효과적으로 억제하는 데에 이 방법이 어느 정도 기여하는가?

주요 결과

• 리프스, 체르, 브라운 운동의 하위레벨 필트레이션에 대해 기대 영속도 다이어그램이 르베그 측도에 대해 밀도를 가짐을 입증하였다.
• 영속도 표면은 기대 다이어그램의 밀도에 대한 커널 밀도 추정기와 수학적으로 동치이다.
• 제안된 대역폭 선택을 위한 교차검증 절차는 일관성이 있음을 증명하였으며, 최적의 스무딩 파라미터로 수렴함을 보장한다.
• 합성 데이터에서는 주요 위상적 특징을 성공적으로 복원하였으며, 세 개의 서로 다른 클래스에 대해 각각 h=0.22, 0.60, 0.17의 대역폭가 선택되었다.
• 실제 가속도계 데이터에서는 대역폭 0.0089, 0.01833, 0.0089가 선택되어, 걷기 패턴을 명확히 분리할 수 있는 구분 가능한 영속도 표면을 생성하였다.
• 노이즈 억제 효과가 입증되었으며, 변동성이 있는 다이어그램 조건에서도 토러스의 영속도 표면은 단지 두 개의 주요 영역만 보였다.