[논문 리뷰] The density of primes in orbits of z^d + c

Spencer Hamblen, Rafe Jones외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전역체 $ K $가 $ d $-번째 단위근을 포함하고 있는 다항식 $ f(z) = z^d + c $에 대해, $ a_0 \in K $의 궤도에 속하는 원소를 나누는 소 이상의 집합이 두 가지 다른 조건 하에서 Dirichlet 밀도가 0임을 증명한다: (1) $ c $가 잔여 특성 $ d $와 서로소인 $ v $-진 단위일 때, 또는 (2) $ f $의 일정한 반복이 기약 다항식으로 인수분해되고 그 값들이 $ K $에서 $ d $-거듭제곱이 아닐 때. 이 결과는 이전의 이차 지도 연구를 고차수 다항식으로 일반화하며, 분할 이론과 기약성 경계에 새로운 기법을 사용한다.

ABSTRACT

Given a polynomial f(z) = z^d + c over a global field K and a_0 in K, we study the density of prime ideals of K dividing at least one element of the orbit of a_0 under f. The density of such sets for linear polynomials has attracted much study, and the second author has examined several families of quadratic polynomials, but little is known in the higher-degree case. We show that for many choices of d and c this density is zero for all a_0, assuming K contains a primitive dth root of unity. The proof relies on several new results, including some ensuring the number of irreducible factors of the nth iterate of f remains bounded as n grows, and others on the ramification above certain primes in iterated extensions. Together these allow for nearly complete information when K is a global function field or when K=Q(zeta_d).

연구 동기 및 목표

• 전역체 $ K $에서 $ f(z) = z^d + c $에 대해 $ a_0 \in K $의 정방향 궤도에 속하는 원소를 나누는 소 이상의 Dirichlet 밀도를 결정하는 것.
• 이차 지도에 대한 기존의 소 이상 밀도 결과를 $ d > 2 $인 고차수 다항식 $ z^d + c $로 확장하는 것.
• 특히 $ K $가 원시 $ d $-번째 단위근을 포함할 때 이 밀도가 0이 되는 조건을 설정하는 것.
• 국소 및 전역 확장에서의 기약성과 분할의 산술적 구조를 분석함으로써 반복 다항식의 산술적 성질을 연구하는 것.

제안 방법

• 비아르키메데스 자리 $ v $에서의 $ K_v $, 즉 $ K $의 $ v $-진 완비화에서의 분할 차수를 기반으로 한 국소적 방법을 사용하여 조건 (1)을 증명한다.
• 존스(2008)의 기법을 고차수 다항식으로 확장한 전역적 방법을 적용하여, $ f^n(z) $의 기약 인수들의 값이 $ d $-거듭제곱이 아니라는 성질을 분석한다.
• $ f^n(z) $의 기약 인수의 수에 대한 경계를 설정하여, $ n \to \infty $일 때 이 수가 균일하게 유계임을 보인다.
• $ \mathbb{Q}(\zeta_d) $에서의 곱 공식과 노름 추정을 사용하여 수체에서의 $ d $-거듭제곱을 배제한다. 특히 $ d $-소수인 경우에 중점을 둔다.
• $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $에서의 특정 대수적 정수들이 $ p $-거듭제곱이 아니라는 것을 보이기 위해, $ p $를 모듈로로 한 합동 조건을 사용하여 문제를 축소한다.
• 갈루아 동형과 노름 비교를 통해 $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $에서 $ f^{n-1}(0) + r\zeta_p^i $가 $ 0 < i < p $인 경우에 $ p $-거듭제곱이 될 수 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 $ a_0 $의 궤도를 나누는 소 이상의 집합이 Dirichlet 밀도 0의 의미에서 흐리게 간주될 수 있는가?
• RQ2 이차 지도에 대한 소 이상 밀도 결과를 $ d > 2 $인 고차수 다항식 $ z^d + c $로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 $ K $에 원시 $ d $-번째 단위근이 존재할 때, 반복 다항식 궤도의 산술적 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 국소체 $ K_v $에서의 분할 행동이 궤도 원소를 나누는 소 이상의 밀도를 통제하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $ f^n(0) $이 $ K $에서 $ d $-거듭제곱이 아니게 되는 경우는 언제이며, 이는 반복의 기약성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 전역체 $ K $에서 원시 $ d $-번째 단위근을 포함하는 다항식 $ f(z) = z^d + c $에 대해, 조건 (1) 하에서 $ a_0 $의 궤도에 속하는 원소를 나누는 소 이상의 Dirichlet 밀도는 0이다: 즉, 잔여 특성이 $ d $와 서로소인 비아르키메데스 자리 $ v $에서 $ |c|_v < 1 $인 경우.
• 조건 (2) 하에서는, $ f^j(z) $가 기약 인수 $ g_i(z) $로 분해되고 $ k \geq 1 $일 때 $ \pm g_i(f^k(0)) $가 $ K $에서 $ d $-거듭제곱이 아니면 밀도는 0이다.
• $ f^n(z) $의 기약 인수의 수는 $ n \to \infty $일 때도 여전히 유계이므로, 이는 밀도 분석을 가능하게 하는 핵심 기술적 결과이다.
• $ K = \mathbb{Q}(\zeta_d) $인 경우, $ d $가 소수이고 $ f^n(0) $이 $ \mathbb{Z} $에서 $ d $-거듭제곱이 아니면 밀도는 0이다. 이는 $ c $가 $ \mathbb{Z} $에서 $ d $-거듭제곱이 아니면 모든 $ n \geq 1 $에서 성립한다.
• $ d = p $가 홀수 소수이고 $ c = r^p $일 때, $ \mathbb{Q}(\zeta_p) $에서 $ f^n(0) + r\zeta_p^i $는 $ p $-거듭제곱이 아니다. 이는 노름 추정과 $ p $를 모듈로로 한 환원을 통해 증명된다.
• 전역 함수체의 경우와 $ K = \mathbb{Q}(\zeta_d) $의 경우에 대해 결과는 거의 완성되었으며, $ c $에 대한 넓은 조건 하에서 밀도 0이 확립되었다.