[논문 리뷰] The density of ramified primes in semisimple p-adic Galois representations

Chandrashekhar Khare, C. S. Rajan|ArXiv.org|2000. 11. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 연속적이고 반단순적인 p진 갈루아 표현에서, 분할된 소수들의 집합은 밀도가 0임을 증명한다. 최대 이상수에 대한 거듭제곱 모듈로로의 환원과 분해군에서의 표현의 올림을 분석함으로써, 환원 수준이 증가함에 따라 분할된 소수들의 상한 밀도가 0으로 수렴함을 보이며, p진 리군 내에서의 온전한 관성과 특성다항식의 성질에 기반한다.

ABSTRACT

We prove that the density of ramified primes in semisimple p-adic representations of Galois groups of number fields is 0. Ravi Ramakrishna has produced examples of such representations that are infinitely ramified.

연구 동기 및 목표

• 연속적이고 반단순적인 p진 갈루아 표현에서 분할된 소수들의 집합이 밀도 0을 가짐을 입증하는 것.
• 강한 다중성의 원리와 같은 고전적 결과를 무한히 분할된 표현의 경우로 확장하기 위해, 무분할 소수가 조밀함을 보이는 것.
• 유한 분할 조건 없이도 일관된 체계의 반단순적인 p진 표현을 사용하는 것의 정당성을 제시하는 것.
• 분해군에서 잔여 표현의 올림의 구조를 분석하여 분할 밀도를 제어하는 것.
• 이러한 표현들의 수렴하는 수열에서 유리수 체의 성질을 연구하는 데 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• K의 정수환 O를 값으로 가지는 GLm(O)에 값을 가지는 정수 모델로 표현 ρ: GL → GLm(K)를 환원하는 것.
• cρ,n을 ρ1에서 무분할이지만 모듈로 mn에 대해 분할된 올림을 허용하는 소수들의 상한 밀도로 정의하는 것.
• Qq의 최대로 온전히 분할된 확장의 갈루아 군 Gq를 프로베니우스 σq와 온전한 관성 τq로 생성하는 것.
• 크라스너의 보조정리와 K의 유한 확장에서의 단위근 성질을 적용하여 τq 작용의 고유값을 유계로 제한하는 것.
• 큰 n에 대해 오직 유니포텐셜 올림만 cρ,n에 기여함을 보여, 반단순적인 경우로 환원하는 것.
• 특성다항식의 결과식과 체보타레프 밀도 정리를 적용하여, 하위다양체에 속하는 프로베니우스 원소들의 비율을 유계로 제한함으로써 cρ,n → 0을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적이고 반단순적인 p진 갈루아 표현에서 분할된 소수들의 집합은 밀도가 0인가?
• RQ2 유한 분할 조건 없이도 일관된 체계의 반단순적인 p진 표현을 의미 있게 연구할 수 있는가?
• RQ3 n이 증가함에 따라 모듈로 pn에 대해 분할된 올림을 허용하는 소수들의 밀도의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 프로베니우스 원소들의 특성다항식은 잔여 표현의 가능한 올림을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 양의 특성의 함수체에서는 이 밀도 결과와 유사한 결과가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 연속적이고 반단순적인 p진 갈루아 표현 ρ: GL → GLm(K)에서 분할된 소수들의 집합은 상한 밀도가 0이다.
• 적당히 큰 n에 대해, cρ,n에 기여하는 것은 오직 ρn|Dq의 유니포텐셜 올림뿐이며, 이들은 특성다항식의 결과식에 의해 제약을 받는다.
• ρ′ = ρ ⊕ ε의 상에서 특정 다항식 조건(F ≡ 0 mod pn)을 만족하는 프로베니우스 원소들의 비율은 O(pn(d−δ))로 감소하며, 이는 cρ,n → 0을 이끈다.
• n → ∞일 때 cρ,n은 0으로 수렴하며, Yn을 ˜Yn 대신 정교하게 분석함으로써 O(p−n)의 정량적 추정이 가능하다.
• 이 결과는 특성 ≠ p인 함수체에 대해서도 성립하지만, 특성이 p이면 p-코homological 차원이 1이므로 실패한다.
• 연속적이고 반단순적인 아벨 표현의 분할 집합은 유한하며, 아벨 리 대수를 가진 표현의 경우에도 동일한 성질이 성립한다.