[논문 리뷰] The density of the terms in an elliptic divisibility sequence having a fixed G.C.D. with their index

Seoyoung C. Kim|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 타원 나누기 수열(EDS)에서 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$의 집합에 대한 구조적 특성과 점근 밀도 공식을 수립한다. 이는 $\mathscr{A}_{E,k}$의 점근 밀도가 존재하고 양수임과 동시에 비어 있지 않은 집합일 때만 성립하며, 모비우스 함수를 사용한 명시적 밀도 공식 $\mathbf{d}('\mathscr{A}_{E,k}') = \sum_{d=1}^\infty \frac{u(d)}{l(dk)}$을 제시한다. 이 공식은 타원곡선의 프로베누스 추적 분포와 관련된 급수의 수렴 조건 하에 성립한다.

ABSTRACT

Let $\mathbf{D}=(D_{n})_{n\geq 1}$ be an elliptic divisibility sequence associated to the pair $(E,P)$. For a fixed integer $k$, we define $\mathscr{A}_{E,k}=\{n\geq 1 : \gcd(n,D_{n})=k\}$. We give an explicit structural description of $\mathscr{A}_{E,k}$. Also, we explain when $\mathscr{A}_{E,k}$ has positive asymptotic density using bounds related to the distribution of trace of Frobenius of $E$. Furthermore, we get explicit density of $\mathscr{A}_{E,k}$ using the Möbius function.

연구 동기 및 목표

• 주어진 타원 나누기 수열 $\mathbf{D}$와 타원곡선 $E$ 및 점 $P$에 대해 집합 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$를 특성화하기.
• 집합 $\mathscr{A}_{E,k}$가 양수의 점근 밀도를 가지는 조건을 규명하고, 이는 타원곡선 $E$의 프로베누스 추적 분포와 연결하기.
• 모비우스 함수와 최소공배수 $l(n) = \mathrm{lcm}(n, r_n)$을 사용하여 $\mathscr{A}_{E,k}$의 점근 밀도에 대한 명시적 공식을 유도하기.
• 피보나치 수열에 알려진 결과를 더 복잡한 타원 나누기 수열의 설정으로 일반화하여, 다양한 곡선 및 점의 구조를 고려하기.
• 무한 급수 $\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$가 수렴하고 $\mathscr{A}_{E,k}$의 점근 밀도와 일치하는 조건을 설정하기.

제안 방법

• 타원곡선 $E$ 위의 점 $[n]P$의 $x$좌표 분모인 $D_n$을 사용하여 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$를 정의한다.
• $r_n = \min\{r \geq 1 : n \mid D_r\}$로 정의된 $n$의 출현 순서 $r_n$과 $l(n) = \mathrm{lcm}(n, r_n)$을 정의하며, 이는 EDS 내의 나누기 성질을 지배한다.
• $\mathscr{L}_k = \{p : p \mid k\} \cup \left\{ \frac{l(kp)}{l(k)} : p \nmid k \right\}$를 구성하고, $\mathscr{N}(\mathscr{L}_k)$를 $\mathscr{L}_k$의 어떤 원소로도 나누어지지 않는 정수의 집합으로 정의한다.
• $\mathscr{A}_{E,k} = \{ l(k)m : m \in \mathscr{N}(\mathscr{L}_k) \}$임을 증명하여, 인덱스 집합의 구조적 기술을 제공한다.
• 타원곡선 $E$의 프로베누스 추적 분포의 분포에 대한 경계를 사용하여 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$의 존재성과 양수성 조건을 확립한다.
• $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)} < \infty$ 수렴 가정 하에 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$의 밀도 공식을 도출하며, 이는 모비우스 역전개와 절대 수렴을 통해 정당화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원 나누기 수열에서 집합 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$가 양수의 점근 밀도를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 집합 $\mathscr{A}_{E,k}$의 정확한 구조적 형태는 무엇이며, 최소공배수 $l(n)$과 출현 순서 $r_n$을 통해 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 점근 밀도 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$는 모비우스 함수를 사용하여 닫힌 형태로 표현할 수 있는가? 이 공식이 성립하는 데 필요한 수렴 조건은 무엇인가?
• RQ4 타원곡선 $E$의 프로베누스 추적 분포는 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$의 존재성과 양수성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기존의 피보나치 수열의 결과는 어느 정도 일반화되며, 타원 나누기 수열의 맥락에서 새로운 과제는 무엇인가?

주요 결과

• 타원곡선 $E$가 복소 곱승을 갖지 않거나, 복소 곱승을 갖고도 유한히 비정상적(즉, 모든 유한한 $p$에 대해 $E(\mathbb{F}_p) \neq p$)이라면, 집합 $\mathscr{A}_{E,k}$는 비어 있지 않은 경우에만 양수의 점근 밀도를 가진다.
• 급수 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$가 수렴하면, $\mathscr{A}_{E,k}$의 점근 밀도는 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$로 주어진다.
• $\mathscr{A}_{E,k} = \{ l(k)m : m \in \mathscr{N}(\mathscr{L}_k) \}$의 구조적 기술은 금지된 나눗셈자 집합 $\mathscr{L}_k$를 통해 인덱스 집합을 완전히 특성화한다.
• $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$의 수렴은 밀도 공식의 타당성에 핵심적이며, 이는 $E$의 네론 모델 섬유의 군 구조에 따라 달라진다.
• 수치적 예시는 부분합 $\sum_{d=1}^n \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$가 매우 느리게 증가함을 보여주며, 이는 많은 곡선에 대해 수렴 조건이 타당하다는 것을 시사한다.
• 밀도 공식은 피보나치 경우를 일반화한다: 피보나치 수열의 경우 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{F,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$이며, 본 논문은 이러한 결과를 적절한 조건 하에 EDS로 확장한다.