[논문 리뷰] The determinant bound for discrepancy is almost tight

Jiřı́ Matoušek|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 04.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유전적 불일치에 대한 행렬식 하한이 거의 최적임을 입증하며, 다항수렴 집합계에서 유전적 불일치가 행렬식 하한과 최대 $ O((\text{poly}(n))^{3/2} \text{polylog}(n)) $ 요인만큼 다를 수 있음을 보여준다. 이 결과는 반정형계획법(이하 SDP) 알고리즘을 사용한 Bansal의 결과에 기반하며, 오랫동안 남아있던 행렬식 하한의 최적성에 대한 질문을 해결한다. 이는 Hoffman과 Pálvölgyi의 악성 사례와 같은 최악의 경우에도 이 하한이 이론적으로 거의 최적의 요인을 초과하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

In 1986 Lovasz, Spencer, and Vesztergombi proved a lower bound for the hereditary a discrepancy of a set system F in terms of determinants of square submatrices of the incidence matrix of F. As shown by an example of Hoffman, this bound can differ from herdisc(F) by a multiplicative factor of order almost log n, where n is the size of the ground set of F. We prove that it never differs by more than O((log n)3/2), assuming |F| bounded by a polynomial in n. We also prove that if such an F is the union of t systems F_1, . . ., F_t, each of hereditary discrepancy at most D, then herdisc(F) \leq O(t^(1/2)(log n)^(3/2) D). For t = 2, this almost answers a question of Sos. The proof is based on a recent algorithmic result of Bansal, which computes low-discrepancy colorings using semidefinite programming.

연구 동기 및 목표

• 기존에 알려진 최악의 예에서 $ \frac{\text{polylog}(n)}{\text{polyloglog}(n)} $의 간극이 존재하는 바, 기존의 행렬식 하한과 진정한 유전적 불일치 사이의 간극을 좁히는 것.
• Hoffman과 Pálvölgyi의 반례에 기반해 행렬식 하한이 $ \text{polylog}(n) $ 정도로 틀릴 수 있음을 고려할 때, 이 하한이 거의 최적인지 여부를 밝혀내는 것.
• 유전적 불일치의 합집합에서 구성 요소의 최대 유전적 불일치를 초월해 유전적 불일치가 얼마나 증가할 수 있는지에 대한 정량적 한계를 설정하는 것.
• Sós가 제기한 문제에 답하는 것: 두 집합계의 합집합에 대한 유전적 불일치를 각각의 불일치와 $ n $, $ m $ 등의 매개변수로 묘사하는 것.

제안 방법

• 최근 Bansal의 알고리즘 결과를 활용하여, 반정형계획법(이하 SDP)을 통한 저불일치 색칠을 계산하는 방법을 사용하며, 이는 불일치를 제약하는 구조적 방법을 제공한다.
• 입접 행렬의 구조를 분석하고, 최대 $ k \times k $ 부분행렬의 행렬식을 통해 행렬식 하한을 적용하며, $ \text{detlb}(\fF) $ 를 핵심 양으로 정의한다.
• 유전적 불일치 $ \text{herdisc}(\fF) $ 에 대한 bound 를 유도하기 위해 $ \text{detlb}(\fF) $ 와의 관계를 분석하며, 다항수렴하는 $ |\fF| $ 를 전제로 하여 비율이 최대 $ O(\text{polylog}(n) \times \text{poly}(m) \times \text{poly}(n)^{1/2}) $ 이하임을 보인다.
• t개의 집합계로 이루어진 합집합에 대해, 각각의 유전적 불일치가 최대 $ D $ 이면, $ \text{herdisc}(\fF) \neq O(\text{polylog}(n) \times \text{poly}(m) \times \text{poly}(t)^{1/2} \times D) $ 를 증명하며, 반복적 분해와 행렬식 하한을 사용한다.
• Pálvölgyi의 기하적 예를 기반으로 하되, 이를 조합적 집합계에 적응시킨, 제어된 불일치와 행렬식 하한을 가진 집합계의 귀납적 구성 방법을 사용한다.
• SDP의 이중화와 부분행렬의 행렬식 분석을 정교하게 수행함으로써, 최악의 구성 조건에서도 불일치 비율에 대한 날카운 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합계의 크기에 합리적인 가정이 있을 때, 유전적 불일치에 대한 행렬식 하한이 $ n $ 에 대해 초과하는 다항로그 요인만큼 틀릴 수 있는가?
• RQ2 행렬식 하한이 거의 최적인지, 아니면 어떤 $ \fF $ 에 대해 $ \text{herdisc}(\fF) $ 와 $ \text{detlb}(\fF) $ 사이에 초과 다항로그 간극이 존재하는가?
• RQ3 각각의 유전적 불일치가 $ D $ 이하인 $ t $ 개의 집합계의 합집합에 대해, $ \text{herdisc}(\fF) $ 가 $ D $, $ t $, $ n $, $ m $ 의 함수로 유계일 수 있는가, 아니면 $ t $ 와 독립적으로 증가하는가?
• RQ4 Hoffman의 예는 $ \frac{\text{polylog}(n)}{\text{polyloglog}(n)} $ 의 간극을 보여주며, 이는 최악의 경우를 대표하는가, 아니면 다항수렴하는 $ |\fF| $ 조건 하에서 간극이 더 클 수 있는가?
• RQ5 Sós가 제기한 문제에 따라, 두 집합계의 합집합에 대한 불일치를 행렬식 하한을 활용해 날카운 상한을 구할 수 있는가, 특히 $ t=2 $ 의 경우에 대해?

주요 결과

• 요소 수 $ n $, 집합 수 $ m $ 인 임의의 집합계 $ \fF $ 에 대해 $ \text{herdisc}(\fF) \neq O\bigl( \text{detlb}(\fF) \times \text{polylog}(n) \times \text{poly}(m)^{1/2} \bigr) $ 를 만족하며, 이는 행렬식 하한이 거의 최적임을 보여준다.
• 각각의 유전적 불일치가 최대 $ D $ 인 $ t $ 개의 집합계 $ \fF_1, \fF_2, \ldots, \fF_t $ 의 합집합인 $ \fF $ 에 대해, $ \text{herdisc}(\fF) $ 는 $ O\bigl( \text{polylog}(n) \times \text{poly}(m)^{1/2} \times \text{poly}(t)^{1/2} \times D \bigr) $ 으로 유계임을 보였다.
• 집합계의 크기가 $ n $ 에 대해 다항식으로 유계일 경우, $ \text{herdisc}(\fF) $ 와 $ \text{detlb}(\fF) $ 사이의 최악의 간극이 최대 $ O((\text{poly}(n))^{3/2} \text{polylog}(n)) $ 이하임을 입증하였다.
• Sós의 질문에 대해 거의 완전히 답을 내었으며, 두 집합계의 합집합에 대한 불일치는 최대 다항로그 요인만큼 증가할 뿐, 알려진 극한 예와 더 이상의 증가가 없음을 보였다.
• Pálvölgyi의 구성은 $ \text{herdisc}(\fF)/\text{detlb}(\fF) $ 비율이 $ \tilde{\theta}(\text{polylog}(n)) $ 수준임을 보여주며, 이는 거의 최악의 경우 예로 확인되었다.
• Bansal의 SDP 기반 색칠 알고리즘에 기반한 증명 기법은 행렬식 기반 불일치 하한의 날카운 분석을 가능하게 하며, 이는 이론적 분석에서 알고리즘적 불일치 방법의 강력함을 입증한다.