[논문 리뷰] The Dieudonné modules and Ekedahl-Oort types of Jacobians of hyperelliptic curves in odd characteristic

Sanath K. Devalapurkar, John Halliday|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 홀수 특성의 유한체 위에서 초타원곡선의 아벨 브랜치의 딜레옹 모듈러스와 에케다-오르트 유형을, de Rham 코hom로지 위에서 프로베니우스와 버쉬비부션 작용을 명시적으로 결정하여 계산한다. Magma 기반 계산을 통해, 특정 랭크 $p^8$ 및 $p^{10}$의 군 스킴—해당하는 표준 유형이 $[1,1,2,3]$ 및 $[1,2,2,3,4]$인 것들—이 각각 종수 4 및 5인 초타원곡선의 $J[p]$로 나타남을 확인하여 열려 있는 질문들을 해결한다. 작은 소수에서의 사례에 대해 검증된다.

ABSTRACT

Given a principally polarized abelian variety $A$ of dimension $g$ over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p$, the $p$ torsion $A[p]$ is a finite flat $p$-torsion group scheme of rank $p^{2g}$. There are exactly $2^g$ possible group schemes that can occur as some such $A[p]$. In this paper, we study which group schemes can occur as $J[p]$, where $J$ is the Jacobian of a hyperelliptic curve defined over $\mathbb{F}_p$. We do this by computing explicit formulae for the action of Frobenius and its dual on the de Rham cohomology of a hyperelliptic curve with respect to a given basis. A theorem of Oda's in [Oda69] allows us to relate these actions to the $p$-torsion structure of the Jacobian. Using these formulae and the computer algebra system Magma, we affirmatively resolve questions of Glass and Pries in [Cor05] on whether certain group schemes of rank $p^8$ and $p^{10}$ can occur as $J[p]$ of a hyperelliptic curve of genus $4$ and $5$ respectively.

연구 동기 및 목표

• 홀수 특성에서 $\mathbb{F}_p$ 위의 초타원곡선 아벨 브랜치에 대해 $J[p]$로 나타날 수 있는 $p$- torsion 군 스킴의 종류를 규명하는 것.
• 글라스와 프라이스가 제기한, 종수 4 및 5인 초타원곡선이 랭크 $p^8$ 및 $p^{10}$의 특정 군 스킴을 $J[p]$로 실현할 수 있는지 여부에 대한 열린 질문을 해결하는 것.
• 프로베니우스 및 버쉬비부션 작용이 초타원곡선의 de Rham 코hom로지 위에 어떻게 작용하는지 계산하여, 아벨 브랜치의 딜레옹 모듈러스를 결정하는 것.
• 프로베니우스 및 버쉬비부션 작용의 작용에서 유도된 표준 유형을 통해 아벨 브랜치의 에케다-오르트 유형을 특성화하는 것.
• 계산 대수를 활용하여 작은 소수에서 특정 군 스킴을 실현하는 초타원곡선의 명시적 예를 제공하는 것.

제안 방법

• 오다의 정리를 활용하여 아벨 브랜치의 딜레옹 모듈러스를 프로베니우스 및 버쉬비부션 작용을 갖춘 de Rham 코hom로지와 연결하는 것.
• 초타원곡선의 de Rham 코호몰로지 기저 위에서 프로베니우스 및 버쉬비부션 행렬을 명시적으로 계산하는 것.
• 카르티에-딜레옹 링의 구조를 적용하여, 딜레옹 모듈러스를 $k[F,V]/(FV=VF=0, Fx=x^pF, Vx^p = xV)$ 위의 모듈로 모델링하는 것.
• 행렬 작용에서 유도된 표준 유형을 활용하여 아벨 브랜치의 에케다-오르트 유형을 결정하는 것.
• Magma 계산 대수 시스템에 알고리즘을 구현하여 주어진 차수와 소수에 대해 모든 매끄러운 초타원곡선을 체계적으로 테스트하는 것.
• 기존의 $p$- torsion 군 스킴 분류와 표준 유형을 대조하여 결과 군 스킴의 구조를 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 유형 $[1,1,2,3]$에 대응하는 랭크 $p^8$ 군 스킴이 $\mathbb{F}_p$ 위의 종수 4 초타원곡선에서 $J[p]$로 나타날 수 있는가?
• RQ2 표준 유형 $[1,2,2,3,4]$에 대응하는 랭크 $p^{10}$ 군 스킴이 $\mathbb{F}_p$ 위의 종수 5 초타원곡선에서 $J[p]$로 나타날 수 있는가?
• RQ3 홀수 특성에서 초타원곡선 아벨 브랜치로부터 유도되는 에케다-오르트 유형은 무엇이며, 작은 소수와 종수에 따라 어떻게 분포하는가?
• RQ4 어떤 소수 $p$ 와 종수 $g$ 에서 $p$- 랭크가 0이 되며, 이러한 경우 $a$-수의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 종수 4 및 5에 대해, 군 스킴 $G \oplus (\mathbb{Z}/p \oplus \mu_p)$ 와 $G \oplus (\mathbb{Z}/p \oplus \mu_p)^2$ 가 $J[p]$로 실현되는 명시적 초타원곡선이 존재하는가?

주요 결과

• 종수 4 및 $p=3$ 인 경우, 곡선 $y^2 = 2x^9 + x^8 + x$ 는 표준 유형 $[1,1,2,3]$을 실현하며, 이는 $p^8$ 랭크 군 스킴이 $J[p]$로 나타남을 확인한다.
• 종수 4 및 $p=5$ 인 경우, 곡선 $y^2 = x^9 + x^8 + x$ 도 표준 유형 $[1,1,2,3]$을 실현하며, 이는 $\mathbb{F}_5$ 에서 $p^8$ 랭크 군 스킴이 $J[p]$로 나타남을 확인한다.
• 종수 5 및 $p=3$ 인 경우, 곡선 $y^2 = 2x^{11} + x^9 + x^7 + x$ 는 표준 유형 $[1,2,2,3,4]$를 실현하며, 이는 $p^{10}$ 랭크 군 스킴이 $J[p]$로 나타남을 확인한다.
• 종수 5 및 $p=5$ 인 경우, 곡선 $y^2 = 3x^{11} + 2x^{10} + 4x^9 + 2x^8 + x^7 + x$ 는 표준 유형 $[1,2,2,3,4]$를 실현하며, 이는 $\mathbb{F}_5$ 에서 $p^{10}$ 랭크 군 스킴이 $J[p]$로 나타남을 확인한다.
• 알고리즘은 프로베니우스 및 버쉬비부션 작용이 de Rham 코호몰로지 위에 미치는 영향에서 표준 유형을 계산하여, 초타원곡선 아벨 브랜치의 에케다-오르트 유형 분류를 가능하게 한다.
• 종수 9 및 $p=3$ 에서는 16가지 가능한 유형 중 11개만 실현되어, 고차수 및 고소수에서의 최종 유형 분포는 아직 완전하지 않다.