[논문 리뷰] The diffusive competition problem with a free boundary in heterogeneous time-periodic environment

Qiaoling Chen, Fengquan Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 21.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간에 주기적이고 비균질 환경에서 자유 경계를 가진 확산 경쟁 모델을 연구한다. 여기서 침입종 u는 초기 영역에서 확산을 시작하며, 원주종 v와 경쟁한다. 모델은 확산-멸종 이분법을 확립하고, 확산 또는 멸종을 위한 충분조건를 제시하며, 보조 문제의 주기적 해를 이용해 확산 속도의 근사적 추정을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the diffusive competition problem with a free boundary and sign-changing intrinsic growth rate in heterogeneous time-periodic environment, consisting of an invasive species with density $u$ and a native species with density $v$. We assume that $v$ undergoes diffusion and growth in $R^{N}$ , and $u$ exists initially in a ball $B_{h_0}(0)$, but invades into the environment with spreading front $\{r = h(t)\}$. The effect of the dispersal rate $d_1$, the initial occupying habitat $h_0$, the initial density $u_0$ of invasive species $u$, and the parameter $μ$ (see (1.3)) on the dynamics of this free boundary problem are studied. A spreading-vanishing dichotomy is obtained and some sufficient conditions for the invasive species spreading and vanishing are provided. Moreover, when spreading of $u$ happens, some rough estimates of the spreading speed are also given.

연구 동기 및 목표

• 시간에 주기적이고 비균질 환경에서 원주종과의 경쟁을 겪는 침입종의 장기적 역학을 이해하기 위해.
• 확산 계수 $ d_1 $, 초기 서식지 크기 $ h_0 $, 초기 밀도 $ u_0 $, 그리고 경쟁 매개변수 $ \mu $ 가 침입의 결과에 미치는 영향를 조사하기 위해.
• 부호가 변화하는 내재 성장률을 가진 자유 경계 문제에 대해 확산-멸종 이분법을 수립하기 위해.
• 침입종이 성공적으로 확산되거나 멸종하는 데 필요한 충분조건를 유도하기 위해.
• 확산이 발생할 경우 침입종의 점근적 확산 속도를 추정하기 위해.

제안 방법

• 자유 경계 $ h(t) $ 를 가진 반응-확산 체계를 수립하며, 확산 경계는 스테판형 조건 $ h'(t) = -\mu u_r(t, h(t)) $ 를 통해 진화한다.
• 성장, 자가 제한 및 경쟁 항에 대해 시간에 주기적이고 허더-연속적인 계수를 부여하며, 상한과 하한을 만족시킨다.
• 비교 원리와 단조성 논증을 사용하여, 상수 또는 주기적 계수를 가진 보조 문제와 해를 비교한다.
• 시간에 주기적 계수를 가진 관련 로지스틱 방정식에 대해 정규 양의 T-주기 해의 존재성과 유일성을 분석한다.
• 침입종의 확산 속도를 특징짓는 함수 $ K_0(\mu, a, b) $ 를 도입하며, 이는 스칼라 상미분 방정식의 주기적 해에서 유도된다.
• 함수 $ K_0 $ 를 적용하여, 극한 계수 함수를 사용하여 $ h(t) $ 의 확산 속도를 상하한으로 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 침입종 $ u $ 가 비균질 시간 주기적 환경에서 확산 또는 멸종하는 조건는 무엇인가?
• RQ2 확산 계수 $ d_1 $, 초기 서식지 크기 $ h_0 $, 초기 밀도 $ u_0 $, 매개변수 $ \mu $ 가 확산 또는 멸종 결과에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ3 침입종이 성공적으로 확산할 경우 점근적 확산 속도는 무엇인가?
• RQ4 전체 공간에서 진화하는 원주종 $ v $ 의 존재가 $ u $ 의 확산 역학에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ5 극한 계수를 가진 보조 문제의 주기적 해를 사용하여 $ u $ 의 확산 속도를 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 확산-멸종 이분법이 성립한다: 침입종 $ u $ 는 무한히 확산된다 (즉, $ h(t) \to \infty $) 또는 멸종한다 (즉, $ h(t) \to h_\infty < \infty $).
• 초기 서식지 크기 $ h_0 $, 초기 밀도 $ u_0 $, 그리고 매개변수 $ d_1 $, $ \mu $ 를 바탕으로 확산에 필요한 충분조건를 도출하였다. 특히 효과적 성장률이 충분히 양수일 경우에 해당한다.
• 확산이 발생할 경우, 확산 속도는 부등식 $ \frac{1}{T}\int_0^T K_0(\mu, m_{1,*} - c_1^* V^*, b_1^*) \, dt \leq \liminf_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq \limsup_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq \frac{1}{T}\int_0^T K_0(\mu, m_1^*, b_{1,*}) \, dt $ 를 만족한다.
• 함수 $ K_0(\mu, a, b) $ 는 정의가 잘 되어 있으며, 그 인자들에 대해 연속적이다. 또한 $ 0 < \frac{1}{T}\int_0^T K_0(\mu, a, b) \, dt < 2\sqrt{\frac{d}{T}\int_0^T a(t) \, dt} $ 를 만족하여 확산 속도의 유계성을 보장한다.
• 보조 문제의 주기적 해 $ U^K $ 는 양수이며, $ r $ 에 대해 엄격히 증가하고, $ r \to \infty $ 일 때 일관된 방식으로 양의 T-주기 해 $ V(t) $ 로 수렴한다.
• 만약 $ K_1 \leq K $ 이고 $ K_1 \not\equiv K $ 이면, $ U^{K_1}(t,r) > U^K(t,r) $ 이고 $ U^{K_1}_r(t,0) > U^K_r(t,0) $ 를 만족하여 경계 유량에 대한 단조성의 성질을 보여준다.