[논문 리뷰] The Dirichlet elliptic problem involving regional fractional Laplacian

Huyuan Chen|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계인 $C^2$ 도메인 $Ω \subset \mathbb{R}^N$ 에서 $α \in (1/2, 1)$ 인 지역적 분수 라플라시안 $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ 이 포함된 딜리클레 문제에 대해 약한 해와 매우 약한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 데이터 $f \in L^2(\Omega)$, $f \in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$, 및 $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 에 대해 해가 존재함을 증명하며, 여기서 $ρ(x) = \text{dist}(x, \partial\Omega)$ 이고 $β = 2\alpha - 1$ 이며, $L^1$ 과 $H^\alpha_0$ 추정이 최적임을 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the solutions for elliptic equations involving regional fractional Laplacian \begin{equation}\label{0} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^α_Ωu=f \qquad & { m in}\quad Ω,\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=g\quad & { m on}\quad \partial Ω, \end{array} \end{equation} where $Ω$ is a bounded open domain in $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 2$) with $C^2$ boundary $\partialΩ$, $α\in(\frac12,1)$ and the operator $(-Δ)^α_Ω$ denotes the regional fractional Laplacian. We prove that when $g\equiv0$, problem ( ef{0}) admits a unique weak solution in the cases that $f\in L^2(Ω)$, $f\in L^1(Ω, ρ^βdx)$ and $f\in \mathcal{M}(Ω,ρ^β)$, here $ρ(x)={ m dist}(x,\partialΩ)$, $β=2α-1$ and $\mathcal{M}(Ω,ρ^β)$ is a space of all Radon measures $ν$ satisfying $\int_Ωρ^βd|ν|

연구 동기 및 목표

• 지역적 분수 라플라시안 딜리클레 문제에 대해 영 boundary 조건을 갖는 약한 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 해의 존재성 프레임워크를 $L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ 와 $\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 에서의 측도 데이터로 확장한다. 여기서 $β = 2\alpha - 1$ 이다.
• 일반적인 boundary 조건 $g \in C^2(\partial\Omega)$ 를 갖는 고전적 해에 대해 적분 by parts 공식을 유도한다.
• 매우 약한 해를 위한 적절한 시험 함수 공간 $\mathbb{X}_\alpha$ 와 $\mathbb{D}_\beta$ 를 특성화하고 경계 항을 규명한다.

제안 방법

• 지정된 점 $x$ 에서의 특이점을 제외한 $Ω$ 에서의 잘린 특이 적분의 극한으로 지역적 분수 라플라시안 $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ 를 정의한다.
• 가우거르도 유형의 노름과 내적을 갖는 힐버트 공간 $H^\alpha_0(\Omega)$ 를 사용하여 변분 형태로 약한 해를 정의한다.
• 경계 $∂\Omega$ 에서 0이 되는 연속 함수의 공간인 $\mathbb{X}_\alpha$ 와 측도 데이터를 위한 $\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 를 도입한다.
• 쌍대성에 의한 매우 약한 해를 정의한다: 모든 $\xi \in \mathbb{X}_\alpha$ 에 대해 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega \xi \, dx = \int_\Omega \xi \, df$.
• 근사 수열로부터 $L^1(\Omega)$ 에서의 약한 극한을 추출하기 위해 덴포르트-페티스 정리를 적용한다.
• 고전적 해에 대해 $u,v \in \mathbb{D}_\beta$ 이면 성립하는 적분 by parts 공식을 사용한다: $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega v (-\Delta)^\alpha_\Omega u \, dx + \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial^\beta u}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega - \int_{\partial\Omega} u \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$.
• 경계 데이터 $g$ 의 조화 확장을 구성하고, 해를 $u_g = u_0 + G$ 로 분해한다. 이때 $G$ 의 정(regularity) 과 가중치가 있는 $L^\infty$ 노름에서의 수렴성을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 지역적 분수 라플라시안 딜리클레 문제는 $H^\alpha_0(\Omega)$ 에서 고유한 약한 해를 갖는가?
• RQ2 해의 존재성 프레임워크는 $f \in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ 와 $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 로 확장될 수 있는가, 여기서 $β = 2\alpha - 1$ 이다?
• RQ3 측도일 경우 매우 약한 해를 위한 적절한 시험 함수 공간은 무엇인가?
• RQ4 비영인 경계 조건을 갖는 고전적 해에 대해 적분 by parts 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 규칙성 조건을 갖는 $f$ 와 $g$ 에 대해 비동차 문제의 해 $u_{f,g}$ 는 공간 $\mathbb{D}_\beta$ 에 속하는가?

주요 결과

• 모든 $f \in L^2(\Omega)$ 에 대해 문제는 고유한 약한 해 $u_f \in H^\alpha_0(\Omega)$ 를 갖으며, $\|u_f\|_{H^\alpha_0(\Omega)} \leq c_1 \|f\|_{L^2(\Omega)}$ 를 만족한다.
• 모든 $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ 에 대해 문제는 고유한 매우 약한 해 $u_f \in L^1(\Omega)$ 를 갖으며, $\|u_f\|_{L^1(\Omega)} \leq c_2 \|f\|_{\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)}$ 를 만족한다.
• 해 수열 $\{u_n\}$ 은 $L^1(\Omega)$ 에서 균일 유계이고 균일 적분 가능하여, 덴포르트-페티스 정리를 통해 약한 컴actness 가 보장된다.
• 모든 $u,v \in \mathbb{D}_\beta$ 에 대해 적분 by parts 공식이 성립한다: $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega v (-\Delta)^\alpha_\Omega u \, dx + \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial^\beta u}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega - \int_{\partial\Omega} u \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$.
• 모든 $f \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$ 와 $g \in C^2(\partial\Omega)$ 에 대해 고전적 해는 모든 $v \in \mathbb{X}_\alpha \cap \mathbb{D}_\beta$ 에 대해 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega f v \, dx + \int_{\partial\Omega} g \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$ 를 만족한다.
• 경계 데이터 $g$ 를 $\bar{\Omega}$ 에로 확장하는 함수 $G$ 는 $|(-\Delta)^\alpha_\Omega G(x)| \leq c_{55} \rho(x)^{-\beta}$ 를 만족하여 가중치가 있는 $L^\infty$ 노름에서 제어 가능하다.