[논문 리뷰] The Dirichlet problem for singular fully nonlinear operators

Isabeau Birindelli, F. Demengel|ArXiv.org|2006. 09. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 12인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 비정상적 완전 비선형 연산자와 비동차 항, 영이 아닌 경계 데이터를 포함하는 딜리클레 문제에 대해 존재성, 최대원리 및 비교원리를 확립한다. 논문은 $-h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 가 $t$ 에 대해 비감소일 때 비교 원리가 성립함을 증명하며, 이 조건이 실패할 경우의 반례를 제시한다. 이는 기존 결과를 부호가 변화하는 데이터와 일반적인 $h$-항을 갖는 연산자로 확장한 것으로, 점성 해 기법을 통해 이루어졌다.

ABSTRACT

In this paper we prove existence of (viscosity) solutions of Dirichlet problems concerning fully nonlinear elliptic operator, which are either degenerate or singular when the gradient of the solution is zero. For this class of operators it is possible to extend the concept of eigenvalue, this paper concerns the cases when the inf of the principal eigenvalues is positive i.e. when both the maximum and the minimum principle holds.

연구 동기 및 목표

• 비영인 경계 조건과 비동차 항을 갖는 특이 완전 비선형 연산자로 최대원리 및 비교원리를 확장하기.
• 비교원리의 타당성을 보장하는 하위항 $h(x,u)$ 에 대한 조건을 규명하기.
• 특정 정규성 및 감쇠 조건을 갖는 $h(x,u) = h_1(x,u) - h_2(x,u)$ 일 때, 딜리클레 문제에 대한 점성 해의 존재성을 증명하기.
• 반복적인 하부 및 상부해의 수열을 통한 반례를 구성하여, $h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 이 비감소일 경우 비교원리가 실패함을 보여, 조건의 날카로움을 입증하기.

제안 방법

• 완전 비선형 PDE의 점성 해 이론을 사용하며, 특히 局소 비교 테스트에 의존한다.
• 연산자 $F$ 에 대해 (H1)–(H5)의 구조 조건을 도입하며, $p$ 에 대해 차수 $\alpha$ 의 동차성과 $|p|^\alpha$ 를 가중치로 하는 균일 타원성 조건을 포함한다.
• 하위항 $h(x,\cdot)$ 가 비증가이고 $h(x,0) = 0$ 이라는 가정 하에 최대원리를 적용한다.
• 점성 해 이론을 통해 $t \mapsto -h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 가 $\mathbb{R}^+$ 에서 비감소일 경우 비교원리를 증명하며, 변형 및 장벽 기법을 적용한다.
• 비감소 조건이 실패할 경우 비유일성의 반례를 반복적인 하부 및 상부해의 수열을 통해 구성한다.
• Perron 방법과 근사 기법을 사용하여 해의 존재성을 증명하며, $h_i(\cdot,t) \in L^\infty$, $h_i(\cdot,0) = 0$, 그리고 $\lim_{t \to \infty} h_2(x,t)/t^{\alpha+1} = 0$ 라는 조건을 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영인 경계 데이터를 갖는 특이 완전 비선형 딜리클레 문제에서 비교원리가 성립하기 위한 $h(x,u)$ 의 조건은 무엇인가?
• RQ2 비동차 항과 부호가 변화하는 데이터를 갖는 연산자로 최대원리를 확장할 수 있는가?
• RQ3 $h(x,u)$ 에 대한 최적 조건은 무엇이며, 점성 해의 유일성을 보장하는가?
• RQ4 $h(x,u)$ 가 제어된 성장 조건을 갖는 비증가 성분으로 분해될 경우, 해의 존재성은 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ5 $-h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 에 대한 단조성 조건은 필수적인가? 이 조건이 실패할 경우 어떤 일이 발생하는가?

주요 결과

• 비교원리가 성립하는 조건은 $t \mapsto -h(x,t)/t^{\alpha+1}$ 가 $\mathbb{R}^+$ 에서 비감소일 때이며, 이 조건은 날카로운 조건이다.
• 반례로 $h(x,t) = -\beta t^{1+q}$ 를 갖는 경우를 제시하며, $q < \alpha$ 일 때 비감소 조건이 실패할 경우 해의 비유일성이 발생함을 보여준다.
• $\lambda < \min\{\overline{\lambda}, \underline{\lambda}\}$ 일 때, $h(x,\cdot)$ 가 비증가이고 $h(x,0) = 0$ 이라는 조건 하에 최대원리가 성립한다.
• 연속적인 $f$ 와 $C^2$ 경계 데이터 $g$ 를 갖는 경우, $h(x,u) = h_1(x,u) - h_2(x,u)$ 이며 $h_i$ 가 비증가, $h_i(x,0) = 0$, 그리고 $\lim_{t \to \infty} h_2(x,t)/t^{\alpha+1} = 0$ 이면 점성 해의 존재성이 증명된다.
• 고유값 $\overline{\lambda}$ 는 최대원리를 통해 정의되며, 관련 고유값 문제에 대해 비자명한 비음성 해 $\phi_1$ 이 존재한다.
• 경계에서 $f_1 < f_2 - m$ 이면 해 $u$ 는 $u \geq \sigma$ 를 만족하며, 이 결과는 $\varepsilon \to 0$ 일 때의 극한에서도 유지된다.