[논문 리뷰] The discriminant and oscillation lengths for contact and Legendrian isotopies

Vincent Colin, Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 임의의 컨택트 만델에서 컨택트로피즘 군의 유니버설 커버 위에 정의된 정수 값을 갖는 이중 불변 거리계인 판별점 거리계를 소개한다. 이 거리계는 컨택트 프로덕트에서 임베딩된 그래프 조각의 최소 수를 통해 정의된다. 논문은 표준 컨택트 구조를 가진 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 및 $\mathbb{R}P^{2n+1}$에서 이 거리계가 유계가 아님을 증명하고, $\mathbb{R}^{2n+1}$ 및 $S^{2n+1}$에서는 이 거리계가 유계임을 보이며, 레그렌지안 이소토피에 대해 판별점 및 진동 길이를 정의하는 데 이를 확장하여 여러 핵심 예시, 예를 들어 $T^*B\times S^1$ 및 특정 3차원 원기저 덮개에서의 유계가 아님을 보인다.

ABSTRACT

We define an integer-valued non-degenerate bi-invariant metric (the discriminant metric) on the universal cover of the identity component of the contactomorphism group of any contact manifold. This metric has a very simple geometric definition, based on the notion of discriminant points of contactomorphisms. Using generating functions we prove that the discriminant metric is unbounded for the standard contact structures on R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. On the other hand we also show by elementary arguments that the discriminant metric is bounded for the standard contact structures on R^{2n+1} and S^{2n+1}. As an application of these results we get that the contact fragmentation norm is unbounded for R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. By elaborating on the construction of the discriminant metric we then define a second integer-valued bi-invariant metric, that we call the discriminant oscillation metric. This second metric is non-degenerate if and only if the contact manifold is orderable in the sense of Eliashberg and Polterovich and, in this case, it is compatible with the partial order. Finally we define the discriminant and oscillation lengths of a Legendrian isotopy, and prove that they are unbounded for T^{\\ast}B x S^1 for any closed manifold B, for RP^{2n+1} and for some 3-dimensional circle bundles.

연구 동기 및 목표

• 판별점의 개념을 사용하여 컨택트로피즘 군의 유니버설 커버 위에 새로운 정수 값을 갖는 이중 불변 거리계를 정의하는 것.
• 생성 함수를 사용하여 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 및 $\mathbb{R}P^{2n+1}$의 표준 컨택트 구조에서 판별점 거리계의 유계가 아님을 증명하는 것.
• 레그렌지안 이소토피에 대해 판별점 및 진동 길이를 정의하고, 특정 경우에서의 유계가 아님을 보이는 것.
• 새로운 메트릭이 컨택트 순서성과 컨택트로피즘 군의 유니버설 커버 위의 부분 순서와 어떻게 관련되어 있는지 규명하는 것.

제안 방법

• 컨택트 이소토피를 분할할 수 있는 최소 조각 수로 정의된 판별점 노름을 정의하며, 이는 각 조각의 그래프의 합집합이 $M \times M \times \mathbb{R}$에 임베딩되어야 한다는 조건을 만족한다.
• 고정점 $q$가 $g(q) = 0$를 만족하는 컨택트로피즘 $\phi$에 대해 판별점의 개념을 사용하여 그래프 합집합의 비임베딩 상태를 탐지한다. 여기서 $\phi^*\alpha = e^g\alpha$이다.
• 비선형 마스лов 지수의 변화와 레그렌지안 이소토피 하에서 임계점의 변화를 제어하기 위해 생성 함수를 적용한다.
• 컨택트로피즘 공역에 의한 변환 하에서 비선형 마스볼 지수가 불변임을 이용하며, 지수 변화에 대해 $n$의 상한을 확보한다.
• 레그렌지안 이소토피를 무한 차수 커버로 올리는 방식으로 문제를 $T^*B \times S^1$ 및 $T^2 \times (-\pi/2, \pi/2)$와 같은 알려진 사례로 환원한다.
• 컨택트 만델이 순서 가능할 때에만 진동 피아노-메트릭이 부분 순서와 호환되며, 그 경우에만 비퇴화적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 컨택트 만델에 대해 유니버설 커버 위에 자연스럽고 정수 값을 갖는 이중 불변 거리계가 존재하는가?
• RQ2 표준 컨택트 만델 중에서 판별점 거리계가 유계가 아닐 만한 것은 무엇인가?
• RQ3 판별점 거리계를 사용하여 컨택트 분해 노름의 유계가 아님을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $T^*B \times S^1$ 및 $\mathbb{R}P^{2n+1}$에서 레그렌지안 이소토피의 판별점 및 진동 길이의 행동은 어떠한가?
• RQ5 판별점 거리계는 컨택트 만델의 엘리아시브-폴터비치 순서 가능성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 생성 함수와 비선형 마스볼 지수를 사용하여 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$의 표준 컨택트 구조에서 판별점 거리계가 유계가 아님을 증명하였다.
• $\mathbb{R}^{2n+1}$ 및 $S^{2n+1}$에서는 레그렌지안 이소토피의 구조에 대한 기본 기하적 추론을 통해 판별점 거리계가 유계임을 입증하였다.
• 판별점 거리계의 유계가 아님은 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 및 $\mathbb{R}P^{2n+1}$에서 컨택트 분해 노름이 또한 유계가 아님을 암시한다.
• $T^*B \times S^1$에서의 레그렌지안 이소토피의 판별점 길이는 리프 플로우의 $k$번째 반복에 대해 최소 $k$ 이상이므로, 이 클래스에서의 유계가 아님을 보였다.
• 지수 변화와 커버링 공간의 올림을 통해 $T^*B \times S^1$, $\mathbb{R}P^{2n+1}$ 및 특정 3차원 원기저 덮개에서 레그렌지안 이소토피의 진동 길이도 또한 유계가 아님을 보였다.
• 진동 피아노-메트릭은 컨택트 만델이 순서 가능할 때에만 비퇴화적이며, 이 경우에 유니버설 커버 위의 부분 순서와 호환된다.