[논문 리뷰] The discriminant length for contact and Legendrian isotopies

Vincent Colin, Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 접촉형형사상군의 기본군에 대한 정수 값을 갖는 이중 불변 거리함수인 분류점(metric)을 도입한다. 이는 접촉형형사상의 분류점의 개념을 통해 정의되며, 표준 접촉구조를 갖는 R^{2n}×S^1 및 RP^{2n+1}에서 이 거리함수가 유계가 아님을 증명한다. 반면 R^{2n+1}과 S^{2n+1}에서는 이 거리함수가 유계임을 보이며, 이는 접촉 분할 노름의 무한성과 레그렌드르 동치의 새로운 불변량을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We define an integer-valued non-degenerate bi-invariant metric (the discriminant metric) on the universal cover of the identity component of the contactomorphism group of any contact manifold. This metric has a very simple geometric definition, based on the notion of discriminant points of contactomorphisms. Using generating functions we prove that the discriminant metric is unbounded for the standard contact structures on R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. On the other hand we also show by elementary arguments that the discriminant metric is bounded for the standard contact structures on R^{2n+1} and S^{2n+1}. As an application of these results we get that the contact fragmentation norm is unbounded for R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. By elaborating on the construction of the discriminant metric we then define a second integer-valued bi-invariant metric, that we call the discriminant oscillation metric. This second metric is non-degenerate if and only if the contact manifold is orderable in the sense of Eliashberg and Polterovich and, in this case, it is compatible with the partial order. Finally we define the discriminant and oscillation lengths of a Legendrian isotopy, and prove that they are unbounded for T^{\ast}B x S^1 for any closed manifold B, for RP^{2n+1} and for some 3-dimensional circle bundles.

연구 동기 및 목표

• 정규 접촉형형사상군의 항등성분의 기본군에 대해 새로운 정수 값을 갖는 이중 불변 거리함수를 정의하기.
• 특히 R^{2n+1}, S^{2n+1}, R^{2n}×S^1, RP^{2n+1}에서 이러한 거리함수의 유계성 성질을 분석하기.
• 이 거리함수를 적용하여 일부 접촉다양체에서 접촉 분할 노름의 무한성을 증명하기.
• 분류점 진동 거리함수를 도입하고, 접촉 순서 가능성 및 부분순서와의 관계를 연구하기.
• 레그렌드르 동치에 대한 분류점 및 진동 길이를 정의하고, 기하학적 및 위상수학적 방법을 통해 그들의 무한성을 분석하기.

제안 방법

• 접촉형형사상이 어떤 의미에서 국소 미분동형이 아니게 되는 점인 분류점의 개념을 사용하여 분류점 거리함수를 정의하기.
• 생성함수를 사용하여 R^{2n}×S^1 및 RP^{2n+1}에서 분류점 거리함수가 유계가 아님을 증명하기.
• 기하학적 원리의 간단한 응용을 통해 R^{2n+1} 및 S^{2n+1}에서 거리함수가 유계임을 보여주기.
• 분류점 진동 거리함수를 두 번째 정수 값을 갖는 이중 불변 거리함수로 구성하며, 접촉다양체가 순서 가능할 때 정확히 비퇴화됨을 보여주기.
• 에리아슈버그와 폴터비히의 정의에 따라 접촉형형사상의 부분순서와 분류점 진동 거리함수를 연결하기.
• 레그렌드르 동치의 분류점 및 진동 길이를 정의하고, 기하학적 및 위상수학적 논증을 통해 그들의 무한성을 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 접촉구조를 갖는 R^{2n}×S^1 및 RP^{2n+1}에서 분류점 거리함수가 유계가 아닐까?
• RQ2 표준 접촉구조를 갖는 R^{2n+1} 및 S^{2n+1}에서 분류점 거리함수가 유계일까?
• RQ3 R^{2n}×S^1 및 RP^{2n+1}에서 분류점 거리함수가 유계가 아님으로 인해 접촉 분할 노름이 유계가 아닐까?
• RQ4 분류점 진동 거리함수가 언제 비퇴화되며, 접촉 순서 가능성과 어떻게 관련될까?
• RQ5 T^*B×S^1, RP^{2n+1}, 그리고 일부 3차원 원판 구조에서 레그렌드르 동치의 분류점 및 진동 길이가 유계가 아닐까?

주요 결과

• 표준 접촉구조를 갖는 R^{2n}×S^1에서 분류점 거리함수는 유계가 아님.
• 표준 접촉구조를 갖는 R^{2n+1}에서 분류점 거리함수는 유계임.
• 표준 접촉구조를 갖는 RP^{2n+1}에서 분류점 거리함수는 유계가 아님.
• 표준 접촉구조를 갖는 S^{2n+1}에서 분류점 거리함수는 유계임.
• 분류점 거리함수가 유계가 아니므로, R^{2n}×S^1 및 RP^{2n+1}에서 접촉 분할 노름은 유계가 아님.
• T^*B×S^1, RP^{2n+1}, 그리고 일부 3차원 원판 구조에서 레그렌드르 동치의 분류점 및 진동 길이는 유계가 아님.