[논문 리뷰] The distributions of traffics and their free product

Camille Male|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 20.

Random Matrices and Applications참고 문헌 18인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 복소수 랜덤 변수의 독립성을 모델링하고 공액 변환에 관해 불변인 랜덤 행렬의 극한을 포괄하는 비가환 확률론에서 새로운 자유 곱의 개념을 도입한다. 이는 渐近 자유성 결과를 일반화하고, 트래픽 수렴과 그래프 극한(벤자민-스램 및 그래프온)을 연결하며, 바이쿨레스쿠의 정리와 드 모르와르-라플라스 정리 사이를 연결하는 새로운 중심극한정리도 수립한다.

ABSTRACT

Traffics are defined as elements of Voiculescu's non commutative spaces (called non commutative random variables), for which we specify more structure. We define a new notion of free product in that context. It is weaker than Voiculescu's free product and encodes the independence of complex random variables. This free product models the limits of independent random matrices invariant by conjugation by permutation matrices. We generalize known theorems of asymptotic freeness (for Wigner, unitary Haar, uniform permutation and deterministic matrices) and present examples of random matrices that converges in non commutative law and are not asymptotically free in the sense of Voiculescu. Our approach provides some additional applications. Firstly, the convergence in distribution of traffics is related to two notions of convergence of graphs, namely the weak local convergence of Benjamini and Schramm and the convergence of graphons of Lovasz. These connections give descriptions of the limiting eigenvalue distributions of large graphs with uniformly bounded degree and random matrices with variance profile. Moreover, we prove a new central limit theorems for the normalized sum of non commutative random variables. It interpolates Voiculescu's and de Moivre-Laplace central limit theorems.

연구 동기 및 목표

• 비가환 스펙트럼 공간에서 바이쿨레스쿠의 자유 곱보다 더 약한 형태의 자유 곱을 정의하여 복소수 랜덤 변수의 독립성을 표현한다.
• 와이너, 하르 유니터리, 순열, 결정론적 행렬에 대한 渐近 자유성 정리들을 일반화한다.
• 비가환 법칙에 대해 수렴하지만 바이쿨레스쿠의 의미에서 渐近 자유성이 아닌 랜덤 행렬 집단을 특정한다.
• 트래픽 수렴과 두 가지 그래프 수렴 개념인 약한 국소 수렴과 그래프온 수렴 사이의 관계를 확립한다.
• 비가환 랜덤 변수에 대해 바이쿨레스쿠의 중심극한정리와 드 모르와르-라플라스 중심극한정리를 연결하는 새로운 중심극한정리를 증명한다.

제안 방법

• 구조화된 비가환 랜덤 변수인 트래픽을 도입하며, 추가적인 대수적 및 확률적 제약 조건을 부여한다.
• 바이쿨레스쿠의 것보다 더 약한 자유 곱 연산을 정의하여 복소수 랜덤 매트릭스 모델에서의 독립성을 포착한다.
• 이 틀을 사용해 순열 행렬에 의한 공액에 관해 불변인 랜덤 행렬의 극한을 분석한다.
• 트래픽 수렴과 벤자민-스램 및 그래프온 의미에서 그래프 수열의 수렴이 동치임을 증명한다.
• 새로운 자유 곱 구조를 통해 비가환 중심극한정리(바이쿨레스쿠)와 고전 중심극한정리(드 모르와르-라플라스)를 보간함으로써 새로운 중심극한정리를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 확률론에서 바이쿨레스쿠의 방식보다 더 자연스럽게 복소수 랜덤 변수의 독립성을 모델링할 수 있는 새로운 자유 곱 연산을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 공액에 관해 불변인 랜덤 행렬은 어떤 의미에서 법칙에 대해 수렴하며, 이는 그래프 극한과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 바이쿨레스쿠의 비가환 중심극한정리와 고전적인 드 모르와르-라플라스 중심극한정리를 통합하는 중심극한정리를 구성할 수 있는가?
• RQ4 트래픽 수렴과 두 가지 그래프 수렴 개념인 벤자민-스램 수렴과 그래프온 수렴 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 비가환 법칙에 수렴하지만 바이쿨레스쿠의 의미에서 渐近 자유성이 아닌 랜덤 행렬 집단은 존재하는가?

주요 결과

• 새로운 자유 곱 구조는 순열 행렬에 의한 공액에 관해 불변인 독립 랜덤 행렬의 극한을 모델링한다.
• 트래픽 수렴이 약한 국소 수렴(벤자민-스램)과 그래프온 수렴(Lovász)의 두 가지 수렴 방식과 동치임을 보였다.
• 논문은 바이쿨레스쿠의 중심극한정리와 드 모르와르-라플라스 중심극한정리 사이를 연결하는 새로운 중심극한정리를 구성한다.
• 비가환 법칙에 수렴하지만 바이쿨레스쿠의 의미에서 渐近 자유성이 아닌 랜덤 행렬의 예를 제시한다.
• 이 틀은 와이너, 하르 유니터리, 균일 순열, 결정론적 행렬에 대한 기존의 渐近 자유성 결과를 일반화한다.