[논문 리뷰] The div-curl lemma for sequences whose divergence and curl are compact in W^{-1,1}

Sergio Conti, Georg Dolzmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 02.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $L^p$ 및 $L^q$에 속하는 수열에 대해 스칼라 곱 $u_k \cdot v_k$가 등가적 적분 가능할 경우, 개별 수열이 등가적 적분 가능하지 않더라도 일반화된 div-curl 보조정리를 수립한다. 물리적 의미로는, $\operatorname{div}u_k$와 $\operatorname{curl}v_k$가 $W^{-1,1}$에서 컴팩트할 경우, $u_k \cdot v_k$가 $u \cdot v$로 약한 $L^1$ 수렴함을 보이며, 고전적인 보완된 컴팩턴스 이론을 더 약한 적분 가능 조건으로 확장한다.

ABSTRACT

It is shown that $u_k \cdot v_k$ converges weakly to $u\cdot v$ if $u_k\weakto u$ weakly in $L^p$ and $v_k\weakly v$ weakly in $L^q$ with $p, q\in (1,\infty)$, $1/p+1/q=1$, under the additional assumptions that the sequences $\Div u_k$ and $\curl v_k$ are compact in the dual space of $W^{1,\infty}_0$ and that $u_k\cdot v_k$ is equi-integrable. The main point is that we only require equi-integrability of the scalar product $u_k\cdot v_k$ and not of the individual sequences.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 div-curl 보조정리를, 개별 수열이 아니라 오직 스칼라 곱 $u_k \cdot v_k$만 등가적 적분 가능할 경우로 확장하는 것.
• 비선형 결정계수 플라스티시티 이론에서의 핵심 과제를 다루는 것: $\det \nabla \varphi_k$는 $L^1$에서 컴팩트하지만 $\nabla \varphi_k$는 $L^p$에서 유계적이지 않을 수 있음.
• 약한 수렴성 조건 $L^p \times L^q$, $W^{-1,1}$에서의 발산 및 코일 컴팩턴스, 곱의 등가적 적분 가능성이라는 최소한의 조건 하에서 $u_k \cdot v_k$의 약한 $L^1$-수렴을 증명하는 것.
• 변수변환을 통한 2차원 비선형 탄성 이론에서 변형률 행렬식의 약한 연속성에 대한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 물리적 의미로, 집합 $A_k, B_k$를 선택하여 $|A_k|, |B_k| \to 0$이 되도록 하되, $|u_k|^p \chi_{\Omega \setminus A_k}$ 및 $|v_k|^q \chi_{\Omega \setminus B_k}$가 등가적 적분 가능하도록 하는 물리적 의미의 보조정리를 적용한다.
• 수정된 수열 $\widetilde{u}_k = u_k \chi_{\Omega \setminus A_k}$, $\widetilde{v}_k = v_k \chi_{\Omega \setminus B_k}$를 정의하여, $\widetilde{u}_k \cdot \widetilde{v}_k$가 $u_k \cdot v_k$와 동일한 약한 극한을 가짐을 보장한다.
• 리프시츠 절단 기법을 사용하여 수정된 수열이 각각 $W^{-1,p}$ 및 $W^{-1,q}$에서 발산과 코일이 컴팩트해지도록 보장한다.
• 수정된 수열에 대해 고전적인 div-curl 보조정리를 적용하여, $u=v=0$일 경우 $\widetilde{u}_k \cdot \widetilde{v}_k \rightharpoonup 0$ in $\mathcal{D}'(\Omega)$임을 결론짓는다.
• 등가적 적분 가능성 조건을 활용하여 $|u_k|^p$의 등가적 적분 가능성과 $\operatorname{div}u_k$의 강한 수렴성 조건을 결합해 $\operatorname{div}\widetilde{u}_k \to 0$ in $W^{-1,p}$임을 증명한다.
• 일반적인 경우를 영 극한의 경우로 환원하기 위해 $\widetilde{u}_k = u_k - u$, $\widetilde{v}_k = v_k - v$로 정의하고, 선형성의 성질을 활용하여 $u_k \cdot v_k \rightharpoonup u \cdot v$ in $L^1$임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 div-curl 보조정리는, 개별 수열이 아니라 오직 스칼라 곱 $u_k \cdot v_k$만 등가적 적분 가능할 경우로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 발산 $\operatorname{div}u_k$와 코일 $\operatorname{curl}v_k$가 $W^{-1,1}$에서 컴팩트하고, 곱 $u_k \cdot v_k$가 등가적 적분 가능할 경우, 이 곱의 약한 $L^1$-수렴이 성립하는가?
• RQ3 이 일반화된 보조정리는 비선형 탄성 모델에서 변형률 행렬식의 약한 연속성을 증명하는 데 응용될 수 있는가?
• RQ4 수정된 수열 $\widetilde{u}_k$, $\widetilde{v}_k$를 구성하여, 그들의 $L^p$ 및 $L^q$ 노름이 등가적 적분 가능하면서도 곱의 약한 극한을 유지할 수 있는가?
• RQ5 발산과 코일의 컴팩턴스 조건 하에서, $L^1$에서의 약한 수렴을 보장하기 위한 $u_k \cdot v_k$의 최소한의 적분 가능 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 수열 $u_k \rightharpoonup u$ in $L^p$, $v_k \rightharpoonup v$ in $L^q$, $\operatorname{div}u_k \to \operatorname{div}u$ in $W^{-1,1}$, $\operatorname{curl}v_k \to \operatorname{curl}v$ in $W^{-1,1}$, 그리고 $u_k \cdot v_k$가 등가적 적분 가능할 경우, 스칼라 곱 $u_k \cdot v_k$는 $L^1(\Omega)$에서 $u \cdot v$로 약하게 수렴한다.
• 핵심적 신선함은 등가적 적분 가능성 조건이 $|u_k|^p$ 또는 $|v_k|^q$가 아니라 오직 곱 $u_k \cdot v_k$에만 요구된다는 점이며, 이는 개별 수열이 일관된 적분 가능성을 갖지 않는 비선형 모델에의 응용 가능성을 열어준다.
• 증명 과정에서 물리적 의미의 보조정리와 리프시츠 절단 기법을 사용하여 수정된 수열 $\widetilde{u}_k$, $\widetilde{v}_k$를 구성함으로써, $|\widetilde{u}_k|^p$ 및 $|\widetilde{v}_k|^q$의 등가적 적분 가능성을 확보하였으며, 이는 고전적인 div-curl 보조정리의 적용을 가능하게 한다.
• $\operatorname{div}u_k$의 $W^{-1,1}$에서의 컴팩턴스와 $|u_k|^p$의 등가적 적분 가능성 조건은 $\operatorname{div}u_k \to 0$ in $W^{-1,p}$를 이끌어내며, 이는 증명의 핵심 단계이다.
• 2차원에서는, $\nabla\varphi_k = G^k + B^k$ 이며 $G^k \rightharpoonup \nabla\varphi$ in $L^2$, $B^k \to 0$ in $L^1$, 그리고 $\det\nabla\varphi_k$가 등가적 적분 가능할 경우, $\det\nabla\varphi_k \rightharpoonup \det\nabla\varphi$ in $L^1$임을 의미한다.
• 팩르의 카펫을 이용한 반례는, $u_k \cdot v_k$의 등가적 적분 가능성 조건이 필수적임을 보이며, 이 조건이 없으면 약한 수렴이 실패함을 시사한다.