[논문 리뷰] The divisibility by 2 of rational points on elliptic curves

Boris M. Bekker, Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유리 2-torsion을 가진 타원곡선 위의 유리점의 2-나누기 가능성 기준에 대한 새로운, 보다 간단한 증명을 제공한다. 이는 반점에 대한 명시적 공식을 사용한다. 특성 ≠ 2인 임의의 체 위에서 주어진 2-거듭제곱 및 토르션 부분군을 갖는 타원곡선의 보편적 가중군을 구성하고, 이를 통해 소수 유한체 및 수체 위에서 특정 군 구조, 예를 들어 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$를 갖는 타원곡선을 명시적으로 분류한다. 여기서는 하세 부등식과 모듈라 곡선 연결을 사용한다.

ABSTRACT

We give a simple proof of the well-known divisibility by 2 condition for rational points on elliptic curves with rational 2-torsion. As an application of the explicit division by $2^n$ formulas obtained in Sec.2, we construct versal families of elliptic curves containing points of orders 4, 5, 6, and 8 from which we obtain an explicit description of elliptic curves over certain finite fields $\mathbb{F}_q$ with a prescribed (small) group $E(\mathbb{F}_q)$. In the last two sections we study 3- and 5-torsion. This paper supercedes arXiv:1605.09279 [math.NT] .

연구 동기 및 목표

• 유리 2-torsion을 갖는 타원곡선 위의 유리점에 대한 고전적 2-나누기 가능성 기준에 대해 더 간단하고 계산이 덜 복잡한 증명을 제공하는 것.
• 주어진 토르션 부분군을 갖는 타원곡선의 보편적 가중군을 구성할 수 있도록, $E(K)$ 내에서 $2^n$으로 나누어지는 점에 대한 명시적 공식을 도출하는 것.
• 소수 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 유리점 군 $E(\mathbb{F}_q)$가 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 같은 특정 아벨 군과 동형이 되는 타원곡선을 분류하는 것.
• 2차 수체 위에서 토르션 부분군이 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 동형이 되는 타원곡선을 명시적 매개변수화를 통해 분류하는 것.

제안 방법

• 특성 ≠ 2인 체 $K$ 위에서 타원곡선의 점 $Q$에 대해 $2Q = P$를 만족하는 조건을 유도하기 위해, 접선의 기하학적 성질과 $x_0 - \alpha_i$가 $K$ 내에서 제곱수임을 조건으로 삼는다.
• 주어진 $K$-점이 있는 유리 또는 종수 1 곡선 위에서 매개변수화된, $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 동형인 부분군을 갖는 타원곡선 $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$의 명시적 매개변수화를 도출한다.
• 하세 부등식을 적용하여 $E(\mathbb{F}_q)$의 가능한 순서를 제약하고, $q = 31, 37, 41, 43, 59, 61$에서 $E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$인 곡선을 정확히 분류한다.
• 2-내림 이론과 명시적 반점 공식을 사용하여 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 토르션 부분군을 갖는 보편적 가중군을 구성한다.
• 마줄, 카미엔니, 켄쿠-모모세의 고전적 결과를 바탕으로 $\mathbb{Q}$ 및 2차 수체 위에서 가능한 토르션 부분군을 분류한다.
• 2차 수체 $K$ 위에서 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 토르션 부분군이 존재하는 것과 곡선이 $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ 가중군 중 하나와 동형임이 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $\neq 2$인 체 $K$ 위의 타원곡선 $E$에서 유리점 $P = (x_0, y_0)$가 $E(K)$ 내에서 2로 나누어지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특성 $\neq 2$인 임의의 체 위에서 4, 5, 6, 또는 8차 유리점이 존재하는 타원곡선의 명시적 가중군을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 어느 소수 유한체 $\mathbb{F}_q$에서 타원곡선 $E$의 유리점 군 $E(\mathbb{F}_q)$가 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 같은 특정 동형 유형을 갖는가?
• RQ4 2차 수체 $K$ 위에서 타원곡선이 토르션 부분군을 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 동형으로 갖는 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ5 하세 부등식과 명시적 토르션 부분군 구성법을 함께 사용하여, 특정 점 군 구조를 갖는 소수 유한체 위의 타원곡선을 어떻게 분류할 수 있는가?

주요 결과

• 특성 $\neq 2$인 체 $K$ 위의 타원곡선 $E: y^2 = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)(x - \alpha_3)$ 위의 유리점 $P = (x_0, y_0)$는 $E(K)$ 내에서 2로 나누어지기 위한 필요충분조건으로, 세 값 $x_0 - \alpha_i$가 모두 $K$ 내에서 제곱수여야 한다. 이 기준은 접선의 기하학적 성질을 통해 간단히 증명된다.
• 접선 방법을 직접 적용하여 $2Q = P$를 만족하는 모든 네 점 $Q$의 좌표에 대한 명시적 공식을 유도하였으며, 복잡한 계산을 피할 수 있었다.
• $q = 31, 37, 41, 43$일 때, $E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ 곡선 중 하나와 동형임을, 하세 부등식과 부분군 포함 조건을 통해 입증하였다.
• $q = 59$ 또는 $61$일 때, $E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ 곡선 중 하나와 동형이며, 하세 부등식에 의해 군의 순서가 60으로 제약됨을 보였다.
• 2차 수체 $K$ 위에서 토르션 부분군 $E(K)_t$가 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 동형이 되기 위한 필요충분조건은 $E$가 $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ 곡선 중 하나와 동형이며, $\xi, \eta$가 특정 방정식과 부등식을 만족해야 한다는 것이다.
• $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 및 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 토르션 부분군을 갖는 보편적 가중군의 구성은 종수 1 곡선 위의 $K$-점에 의해 매개변수화되며, 이 결과는 종수 1인 모듈라 곡선과 연결된다.