[논문 리뷰] The divisor function and divisor problem

Aleksandar Ivić|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 21인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 약수 함수 d(n) 및 그 고차 반복 d^(k)(n)의 최대 순서와 평균값 추정에 초점을 맞추며, 해석적 수론 기법을 사용하여 d^(2)(n)에 대한 날카운 경계를 수립한다. 이는 Vorono"i 유형의 명시적 공식과 오차 항 ∆(x)의 평균 제곱 추정을 포함하며, 짧은 간격에서 d(n)의 분산에 대한 渐近 공식을 도출하여 Coppola와 Salerno의 이전 결과를 크게 향상시키고, Jutila 및 다른 이들의 짧은 산술적 등차수열에서 d(n)의 분포에 관한 연구를 확장한다.

ABSTRACT

The purpose of this text is twofold. First we discuss some divisor problems involving Paul Erd\H os (1913-1996), whose centenary of birth is this year. In the second part some recent results on divisor problems are discussed, and their connection with the powers moments of $|ζ(\frac{1}{2}+it)|$ is pointed out. This is an extended version of the lecture given at the conference ERDOS100 in Budapest, July 1-5, 2013.

연구 동기 및 목표

• 해석적 수론을 사용하여 약수 함수의 두 번째 반복 d^(2)(n)의 최대 순서를 확립한다.
• 짧은 간격에서 오차 항 ∆(x) = Σ_{n≤x} d(n) − x(log x + 2γ − 1)의 평균 제곱 추정을 정밀화한다.
• 특히 U ≪ √T일 경우, 구간 [x, x+U]에서 d(n)의 분산에 대한 기존의 渐近 공식을 향상시킨다.
• d^(k)(n)의 행동과 |ζ(1/2 + it)|의 모멘트 사이의 연결 고리를 설정하여 약수 문제와 리만 제타 함수를 연결한다.
• 장기간 간격에서 [∆(x+U)−∆(x)]²의 적분에 대한 명시적 渐近 전개를 제공하여 Jutila 및 Heath-Brown의 이전 결과를 정밀화한다.

제안 방법

• 오차 제어를 위한 민감한 매개변수 선택이 가능한 Bessel 함수 합으로 ∆(x)를 표현하기 위해 잘라낸 Vorono"i 공식을 사용한다.
• 복소해석학과 적분 경로를 이용하여 짧은 간격에서의 주항등식 Mk(N,H)과 오차 항 Rk(N,H)을 추정한다.
• ∆k(x)의 평균 제곱 추정과 리만 제타 함수의 모멘트와의 연결 고리를 활용하여 渐近 전개의 오차를 유계화한다.
• Ramanujan 합 cq(h)와 Dirichlet 급수 생성 함수를 사용하여 dk(n)의 산술적 구조와 그 이동을 분석한다.
• 정리 3의 명시적 渐近 전개를 이원 분할과 하이브리드 추정과 결합하여 짧은 간격에서 최댓값에 대한 날카운 경계를 도출한다.
• 오차 항의 지수 βk와 αk를 통해 약수 문제와 Lindel"of 추측을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n에 대한 함수로서 d^(2)(n)의 두 번째 반복의 최대 순서는 무엇인가?
• RQ2 U ≪ √T인 짧은 간격에서 ∆(x+U)−∆(x)의 평균 제곱과 분산은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 적분 ∫_T^{2T} [∆(x+U)−∆(x)]² dx에 대한 정확한 渐近 전개는 무엇이며, 이는 이전 작업을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 |ζ(1/2 + it)|의 모멘트는 약수 문제와 d^(k)(n)의 성장과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 길이 U인 짧은 간격에서 |∆(x+u)−∆(x)|의 최댓값에 대한 최선의 가능한 상한은 무엇이며, 이는 H와 T에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• d^(2)(n)의 최대 순서는 max_{n≤x} log d^(2)(n) = √(log x / log log x) · (D + o(1))를 만족하며, 여기서 D ≈ 2.7958은 명시적인 상수이다.
• 짧은 간격에서 d(n)의 분산에 대한 渐近 공식은 ∫_T^{2T} [∆(x+U)−∆(x)]² dx = (TU/3) Σ_{j=0}^3 c_j log^j(√T / U) + O_ε(T^{1/2+ε} U^2 + T^{1+ε} U^{1/2})로 주어지며, 명시적인 상수 c_j를 포함한다.
• 이 渐近 공식은 Coppola와 Salerno의 이전 오차 항 O(TUL^{5/2})를 개선하여 오차를 O(T^{1/2+ε} U^2)로 감소시켰다.
• |∆(x+u)−∆(x)|의 최댓값에 대한 개선된 하이브리드 경계는 ∫_T^{T+H} max_{0≤u≤U} |∆(x+u)−∆(x)|² dx ≪ HUL^5 + T L^4 log L + H^{1/3} T^{2/3} U^{2/3} L^{10/3} (log L)^{2/3}로 확립되었다.
• 적절한 조건 하에서 T, U, H에 대해, |∆(x)| ≥ c_± T^{1/4}를 만족하는 길이 ≫U인 하위간격이 ≫ H U^{-1}개 존재함을 증명하였으며, 이는 T^{1/4} 척도에서 진동 행동을 확인한다.
• 지수 β_k와 α_k를 통한 약수 문제와 리만 제타 함수의 연결 고리는 β_k = (k−1)/(2k)가 최적으로 추측되며, 이는 Lindel"of 추측과 등가임을 강화한다.