[논문 리뷰] The DMM bound: multivariate (aggregate) separation bounds

Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 31.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 22인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 다항식 시스템의 고립된 근을 위한 새로운 다변수 집합 분리 경계인 DMM 경계를 도입한다. 이 경계는 혼합 체적과 흐림 잔여치를 활용하여 Canny의 갭 정리보다 $\mathcal{O}(d^{n-1})$만큼 향상된다. 이는 $\mathbb{R}^2$에서 Milne의 분할 알고리즘에 대한 첫 번째 복잡도 경계를 제공하며, 고유값 계산과 단형체 위의 양의 다항식에 대해 더 날카운 경계를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we derive aggregate separation bounds, named after Davenport-Mahler-Mignotte (\dmm), on the isolated roots of polynomial systems, specifically on the minimum distance between any two such roots. The bounds exploit the structure of the system and the height of the sparse (or toric) resultant by means of mixed volume, as well as recent advances on aggregate root bounds for univariate polynomials, and are applicable to arbitrary positive dimensional systems. We improve upon Canny's gap theorem \cite{c-crmp-87} by a factor of $\OO(d^{n-1})$, where $d$ bounds the degree of the polynomials, and $n$ is the number of variables. One application is to the bitsize of the eigenvalues and eigenvectors of an integer matrix, which also yields a new proof that the problem is polynomial. We also compare against recent lower bounds on the absolute value of the root coordinates by Brownawell and Yap \cite{by-issac-2009}, obtained under the hypothesis there is a 0-dimensional projection. Our bounds are in general comparable, but exploit sparseness; they are also tighter when bounding the value of a positive polynomial over the simplex. For this problem, we also improve upon the bounds in \cite{bsr-arxix-2009,jp-arxiv-2009}. Our analysis provides a precise asymptotic upper bound on the number of steps that subdivision-based algorithms perform in order to isolate all real roots of a polynomial system. This leads to the first complexity bound of Milne's algorithm \cite{Miln92} in 2D.

연구 동기 및 목표

• 다항식 시스템의 고립된 근, 특히 양의 차원 케이스를 포함한 다변수 다항식 시스템의 집합 분리 경계를 유도하는 것.
• 혼합 체적과 잔여치 높이를 활용하여 흐림성을 이용해 Canny의 갭 정리보다 개선하는 것.
• 이전 작업에 비해 단형체 위의 양의 다항식 최소값에 대한 더 날카운 경계를 제공하는 것.
• 실근 수를 세는 방법을 사용하여 $\mathbb{R}^2$에서 Milne의 분할 알고리즘에 대한 첫 번째 복잡도 경계를 확립하는 것.
• 정수 행렬 고유값/고유벡터 계산의 다항 비트 복잡도에 대한 새로운 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• DMM 경계는 흐린 잔여치와 그 높이를 사용하며, 혼합 체적을 활용해 다항식 시스템의 흐림성을 이용한다.
• 이 방법은 결과식과 다항식 나머지 수열을 통해 단변수 DMM 경계를 다변수 시스템으로 확장한다.
• 반복 결과식을 사용해 변수를 제거하고, 부피 매개변수 $u$에 대한 단일변수 다항식을 계산하여 근을 분리한다.
• 알고리즘은 상자 꼭짓점에서의 부호 변화 수를 세는 스툴 수열과 함께 실근을 도메인 내에서 분리한다.
• 복잡도 분석은 결과식과 다변수 다항식 평가에 대한 비트 크기 경계에 기반하며 산술 및 비트 복잡도를 철저히 추적한다.
• 이 접근법은 고유값 문제와 양의 다항식 최소화에 적용되며, 도함수를 통한 임계점에 대한 경계를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변수 다항식 시스템의 집합 분리 경계는 흐림성과 혼합 체적을 활용해 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 DMM 경계는 Canny의 갭 정리와 Brownawell–Yap 경계에 비해 날카움과 적용 가능성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 DMM 경계는 근이 고립되어 있지 않은 양의 차원 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{R}^2$에서 Milne의 분할 알고리즘의 복잡도는 무엇이며, 새로운 분리 경계로 경계를 설정할 수 있는가?
• RQ5 DMM 경계는 정수 행렬 고유값 문제의 다항 비트 복잡도에 대한 새로운 증명을 이끌 수 있는가?

주요 결과

• DMM 경계는 $n$개 변수와 차수 $d$를 가진 다항식 시스템에서 Canny의 갭 정리보다 $\mathcal{O}(d^{n-1})$만큼 향상된다.
• 작은 $n$에 대해 최적에 $\mathcal{O}(2^n)$ 이내이며, 혼합 체적을 사용할 경우 [5]보다 날카롭다.
• 단형체 위의 양의 다항식 최소값에 대해 총 차수와 변수 수를 비교할 때 총 차수가 변수 수를 초과하면 [2], [5], [16]보다 향상된다.
• $\mathbb{R}^2$에서 Milne 알고리즘에 대한 첫 번째 복잡도 경계가 확립되었으며, 런타임은 $\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^{27}\tau + d^{26}\tau^2)$이다.
• DMM 경계는 정수 행렬 고유값/고유벡터 계산이 다항 비트 복잡도임을 새로운 방식으로 증명한다.
• 수치적 비교에서 DMM 경계는 이전 경계보다 훨씬 낮은 비트 크기 추정치를 달성한다. 예를 들어 $d=32$, $\tau=85$일 때, [2]의 16억 비트 대비 $324,506$ 비트이다.