[논문 리뷰] The domatic number of regular and almost regular graphs

Raphael Yuster|ArXiv.org|2001. 11. 24.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 5인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 k-정규 및 거의 k-정규 그래프의 도미네이팅 수에 대해 (1+o_k(1))k/(2ln k)의 하한을 확립하며, 이러한 그래프가 항상 k/log k에 상응하는 선형 수의 서로소 도미네이팅 집합을 가짐을 증명한다. 반복적인 라보스 로컬 렘마의 반정적 방법을 적용함으로써 저자들은 k/log k의 주요 순서가 날카롭고 향상될 수 없음을 보이며, 정규 그래프에서 도미네이팅 수의 渐近적 행동에 대한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

The domatic number of a graph $G$, denoted $dom(G)$, is the maximum possible cardinality of a family of disjoint sets of vertices of $G$, each set being a dominating set of $G$. It is well known that every graph without isolated vertices has $dom(G) \geq 2$. For every $k$, it is known that there are graphs with minimum degree at least $k$ and with $dom(G)=2$. In this paper we prove that this is not the case if $G$ is $k$-regular or {\em almost} $k$-regular (by ``almost'' we mean that the minimum degree is $k$ and the maximum degree is at most $Ck$ for some fixed real number $C \geq 1$). In this case we prove that $dom(G) \geq (1+o_k(1))k/(2\ln k)$. We also prove that the order of magnitude $k/\ln k$ cannot be improved. One cannot replace the constant 2 with a constant smaller than 1. The proof uses the so called {\em semi-random method} which means that combinatorial objects are generated via repeated applications of the probabilistic method; in our case iterative applications of the Lovász Local Lemma.

연구 동기 및 목표

• 최소 차수 k이고 최대 차수 최대 Ck인 (k,C)-정규 그래프에 대한 최소 가능한 도미네이팅 수 f(k,C)를 결정하는 것.
• 정규 및 거의 정규 그래프에서 도미네이팅 수의 알려진 하한과 추측된 渐近적 행동 사이의 격차를 메우는 것.
• 도미네이팅 수의 주요 순서 k/log k가 이러한 그래프에서 날카롭고 향상될 수 없음을 보여주는 것.
• 고급 확률적 방법을 사용하여 하한에서 상수 2를 더 작은 상수로 대체할 수 없음을 입증하는 것.

제안 방법

• 반복적인 라보스 로컬 렘마 적용을 포함한 반정적 방법을 사용하여 많은 서로소 도미네이팅 집합을 가진 색칠을 구성하는 것.
• 정점의 색 클래스를 도미네이트하지 못할 경우의 사건들 간의 의존성을 제어하기 위해 라보스 로컬 렘마의 대칭형을 적용하는 것.
• 간선 확률 p = (1+ε/8)/k^{r-1}인 무작위 그래프 모델 G(n,p)를 사용하여 일반적인 차수 및 도미네이션 성질을 분석하는 것.
• 집중 불등식(체르노프 유사한 경계)을 사용하여 무작위 그래프에서 차수가 기대값 주변에 견고하게 집중되어 있음을 보이는 것.
• 마르코프 부등식을 적용하여 소규모 부분그래프 중 간선 수가 정점 수를 초과하는 것의 기대 개수를 유계로 제한함으로써, 거의 확실히 그러한 부분그래프가 존재하지 않음을 보장하는 것.
• 확률적 구성과 구조적 그래프 성질을 조합하여, 큰 수의 서로소 도미네이팅 집합이 양의 확률로 존재함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C ≥ 1이 고정된 상수일 때, 최소 차수 k이고 최대 차수 최대 Ck인 (k,C)-정규 그래프에 대해 최소 가능한 도미네이팅 수 f(k,C)는 무엇인가?
• RQ2 k-정규 그래프에서 도미네이팅 수의 주요 순서 k/log k는 향상될 수 있는가, 아니면 날카로운가?
• RQ3 하한 (1+o_k(1))k/(2ln k)에서 상수 2는 최적인가, 아니면 줄일 수 있는가?
• RQ4 거의 k-정규 그래프의 도미네이팅 수는 추측한 바와 같이 k/log k만큼 증가하는가?
• RQ5 반복적인 라보스 로컬 렘마 적용을 포함한 반정적 방법은 표준 확률적 방법보다 더 좋은 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 (k,C)-정규 그래프에 대해 f(k,C) ≥ (1+o_k(1))k/(2ln k)임을 보여주며, 비자명한 하한을 확립한다.
• 상한 f(k,C) ≤ (1+o_k(1))k/ln k는 주요 순서 k/log k가 날카롭고 향상될 수 없음을 보여주며, 이는 이를 뒷받침한다.
• 상수 2는 더 작은 상수로 대체될 수 없으며, 3 이하의 상수에 대해 단순한 로컬 렘마 적용이 실패함으로써 이를 입증한다.
• 하한과 상한이 일치하므로, 추측 f(k,C) = (1+o_k(1))k/ln k는 지배적인 점근적 정확성을 지닌 것으로 지지되며, 이는 점근적으로 올바르다고 보여진다.
• 거의 확실하게, p = (1+ε/8)/k^{r-1}인 무작위 그래프 G(n,p)는 최소 차수 k+1 이상, 최대 차수 최대 Ck 이하이며, (k,C)-정규 조건을 만족한다.
• 간선 수가 정점 수를 초과하는 소규모 부분그래프가 존재하지 않음은 길이 ≤ g의 사이클들이 정점으로서 서로소임을 보장하며, 이는 도미네이션 추론을 뒷받침한다.