[논문 리뷰] The Donaldson-Thomas partition function of the banana manifold

Jim Bryan|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 '바나나 다양체'라 불리는, 아벨 곡면으로 이루어진 섬유화된 콪카리-야우 3차원 다양체에서, 섬유 곡선 클래스의 3차원 격자에 제한된 도널드슨-테이터스 분할 함수를 계산한다. 등급 기법과 C² 위의 Hilbert 스킴의 기하학을 활용하여, 테타 함수 비율의 계수를 포함하는 닫힌 곱수식을 유도하고, 에이젠스타인 급수의 스토르프라-마스 승법을 통해 관련된 골모프-와이튼 포텐셜이 종수 2 시에일 모듈라 형식임을 보인다.

ABSTRACT

A banana manifold is a compact Calabi-Yau threefold, fibered by Abelian surfaces, whose singular fibers have a singular locus given by a "banana configuration of curves". A basic example is given by $X_{ban}$, the blowup along the diagonal of the fibered product of a generic rational elliptic surface $S o \mathbb{P}^{1}$ with itself. In this paper we give a closed formula for the Donaldson-Thomas partition function of the banana manifold $X_{ban }$ restricted to the 3-dimensional lattice $Γ$ of curve classes supported in the fibers of $X_{ban} o \mathbb{P}^{1}$. It is given by \[ Z_Γ(X_{ban}) = \prod_{d_{1},d_{2},d_{3}\geq 0} \prod_{k} \left(1-p^{k}Q_{1}^{d_{1}}Q_{2}^{d_{2}}Q_{3}^{d_{3}} ight)^{-12c(||\mathbf{d} ||,k)} \] where $||\mathbf{d} || = 2d_{1}d_{2}+ 2d_{2}d_{3}+ 2d_{3}d_{1}-d_{1}^{2}-d_{2}^{2}-d_{3}^{2}$, and the coefficients $c(a,k)$ have a generating function given by an explicit ratio of theta functions. This formula has interesting properties and is closely realated to the equivariant elliptic genera of $\operatorname{Hilb} (\mathbb{C}^{2})$. In an appendix with S. Pietromonaco, it is shown that the corresponding genus $g$ Gromov-Witten potential $F_{g}$ is a genus 2 Siegel modular form of weight $2g-2$ for $g\geq 2$; namely it is the Skoruppa-Maass lift of a multiple of an Eisenstein series: $\frac{6|B_{2g}|}{g(2g-2)!} E_{2g}(τ)$.

연구 동기 및 목표

• 섬유 곡선 클래스에 제한된 바나나 다양체의 도널드슨-테이터스 분할 함수를 계산하기.
• 테타 함수 비율의 계수를 포함하는 닫힌 곱수식 형태의 분할 함수 유도하기.
• 분할 함수와 Hilb(C²)의 등급 타원형 군과의 연결 고리 설정하기.
• 종수 g 골모프-와이튼 포텐셜이 스토르프라-마스 승법을 통해 종수 2g−2의 시에일 모듈라 형식임을 보여주기.
• 명시적인 고파쿠마르-바프라 불변량을 계산하고, 그 모듈라 구조를 검증하기.

제안 방법

• 섬유화된 사상 Xban → P¹에서 섬유에 지지된 곡선 클래스의 3차원 격자 Γ에 대해 도널드슨-테이터스 분할 함수를 제한하기.
• GW/DT 대응을 적용하여 분할 함수를 골모프-와이튼 포텐셜과 연결하기.
• 스토르프라-마스 승법을 적용하여 종수 g 골모프-와이튼 포텐셜 Fg가 종수 2g−2의 시에일 모듈라 형식임을 보이기.
• 분할 함수를 차수 d₁,d₂,d₃ ≥ 0 및 정수 k에 대한 곱으로 표현하기: ZΓ(Xban) = ∏(1 − pᵏQ₁^{d₁}Q₂^{d₂}Q₃^{d₃})^{−12c(||d||,k)}이며, ||d|| = 2d₁d₂ + 2d₂d₃ + 2d₃d₁ − d₁² − d₂² − d₃²이다.
• 계수 c(a,k)의 생성함수를 테타 함수 비율의 형태로 유도하기.
• Hilb(C²)의 타원형 군의 λ-전개를 사용하고, GW/DT 대응을 통해 고파쿠마르-바프라 불변량과 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 섬유 곡선 클래스에 제한된 바나나 다양체의 도널드슨-테이터스 분할 함수에 대한 닫힌 형태의 표현은 무엇인가?
• RQ2 분할 함수의 계수 c(a,k)는 모듈라 형식과 Hilb(C²)의 등급 타원형 군과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 바나나 다양체의 종수 g 골모프-와이튼 포텐셜은 시에일 모듈라 형식인가? 만약 그렇다면, 어떤 형식인가?
• RQ4 바나나 다양체의 고파쿠마르-바프라 불변량의 구조는 어떠한가? 그리고 그들은 모듈라 또는 산술적 패턴을 보이는가?
• RQ5 스토르프라-마스 승법을 적용하여 도널드슨-테이터스 분할 함수로부터 골모프-와이튼 포텐셜을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 바나나 다양체의 도널드슨-테이터스 분할 함수는 다음 곱수식으로 주어진다: ZΓ(Xban) = ∏(1 − pᵏQ₁^{d₁}Q₂^{d₂}Q₃^{d₃})^{−12c(||d||,k)} (d₁,d₂,d₃ ≥ 0, k ∈ ℤ).
• 계수 c(a,k)의 생성함수는 테타 함수 비율의 형태로 주어지며, 이는 분할 함수와 Hilb(C²)의 등급 타원형 군을 연결한다.
• 종수 g 골모프-와이튼 포텐셜 Fg는 g ≥ 2일 때 종수 2g−2의 시에일 모듈라 형식이며, 특히 에이젠스타인 급수 E₂g의 스토르프라-마스 승법이다.
• 에이젠스타인 급수의 계수는 a_g = 6|B₂g| / (g(2g−2)!), 여기서 B₂g는 베르누이 수이다.
• 고파쿠마르-바프라 불변량 nₐ^g(Xban)은 12로 나누어지며, 정규화된 불변량 (1/12)nₐ^g는 작은 g와 a ≡ 0 또는 −1 mod 4에 대해 표로 정리되어 있다.
• g > 1일 경우, 전체 골모프-와이튼 포텐셜 Fg는 오일러 특성과 관련된 상수항과 다중로그 함수 및 계수 c₂g−2(4nm − l²)를 포함하는 급수의 합으로 이루어져 있다.