[논문 리뷰] The double of a Hopf monad

Alain Bruguières, Alexis Virelizier|ArXiv.org|2008. 12. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 자동 카테고리 위의 호프 모나드에 대해 '이중'을 도입하여, 비브레이드 설정으로까지 일반화된 드린펠트 이중 구성법을 제시한다. 호프 모나드의 모듈러 카테고리의 중심이 이중의 모듈러 카테고리와 동치임을 증명하며, 특히 양자 토폴로지와 모듈라 텐서 카테고리에서 유용한, 중심의 코엔드를 원래 모나드의 구조로 명시적으로 기술한다.

ABSTRACT

The center Z(C) of an autonomous category C is monadic over C (if certain coends exist in C). The notion of Hopf monad naturally arises if one tries to reconstruct the structure of Z(C) in terms of its monad Z: we show that Z is a quasitriangular Hopf monad on C and Z(C) is isomorphic to the braided category Z-C of Z-modules. More generally, let T be a Hopf monad on an autonomous category C. We construct a Hopf monad Z_T on C, the centralizer of T, and a canonical distributive law of T over Z_T. By Beck's theory, this has two consequences. On one hand, D_T=Z_T T is a quasitriangular Hopf monad on C, called the double of T, and Z(T-C)= D_T-C as braided categories. As an illustration, we define the double D(A) of a Hopf algebra A in a braided autonomous category in such a way that the center of the category of A-modules is the braided category of D(A)-modules (generalizing the Drinfeld double). On the other hand, the canonical distributive law also lifts Z_T to a Hopf monad on T-C which gives the coend of T-C. Hence, for T=Z, an explicit description of the Hopf algebra structure of the coend of Z(C) in terms of the structural morphisms of C, which is useful in quantum topology.

연구 동기 및 목표

• 자기 카테고리 위의 임의의 호프 모나드에 대해 드린펠트 이중 구성법을 일반화한다.
• 원래 카테고리 C와 그 호프 모나드 구조로 표현된 중심 카테고리 Z(C)의 코엔드에 대한 명시적 기술을 제공한다.
• 호프 모나드의 이중 모듈러 카테고리와 모듈러 카테고리의 중심 사이의 브레드 등가를 확립한다.
• 베이크의 분배 법칙 이론을 호프 모나드로 확장하여, 호환 가능한 구조를 가진 모나드의 승강과 복합화를 가능하게 한다.
• 이론 프레임워크를 브레드된 카테고리 내 호프 대수에 적용하여, 표준 드린펠트 이중을 특수한 경우로 회복한다.

제안 방법

• 자기 카테고리 $ \mathcal{C} $ 위의 호프 모나드 $ T $의 중심자 $ Z_T $를 코엔드 $ \int^{Y} {}^\vee T(Y) \otimes X \otimes Y $ 로 정의하며, 이는 호프 모나드 구조를 상속한다.
• 호프 모나드의 수반성과 정확성 성질을 이용하여, $ T $와 $ Z_T $ 간의 호환성을 코딩하는 표준 분배 법칙 $ \Omega: TZ_T \to Z_T T $ 를 구성한다.
• 베이크의 분배 법칙 이론을 사용하여 $ Z_T $ 를 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 위의 호프 모나드 $ \tilde{Z}_T^\Omega $ 로 승강하고, $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 의 코엔드가 $ Z_T(\mathbb{1}) $ 와 동치이며 $ \Omega $ 로부터 유도된 구조 사상으로 구성됨을 보인다.
• 분배 법칙 $ \Omega $ 를 사용하여 복합 모나드 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ 로서의 이중을 정의하며, 이는 쿼아지트리앙귤러 호프 모나드 구조를 가진다.
• 브레드된 카테고리로서 $ D_T\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ 를 증명하여 핵심 결과를 확립한다.
• 브레드된 자동 카테고리 내 호프 대수에 이 구성법을 적용하여, 호프 대수 $ A $ 의 이중 $ D(A) $ 가 $ D(A)\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(A\mbox{-}\mathcal{C}) $ 를 만족함을 보이고, 표준 드린펠트 이중을 특수한 경우로 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드린펠트 이중 구성법은 호프 대수를 초월하여 자동 카테고리 위의 임의의 호프 모나드로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 중심 카테고리 $ \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ 의 코엔드는 어떤 구조를 가지며, 원래 모나드 $ T $ 의 구조로 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 모나드 $ T $ 와 그 중심자 $ Z_T $ 간의 표준 분배 법칙 $ \Omega $ 는 $ Z_T $ 를 $ T $-모듈러 카테고리로 승강하고, 거기서 호프 모나드를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 복합 모나드 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ 는 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 의 중심과 어떻게 관련되어 있으며, 어떤 브레드된 구조를 지니는가?
• RQ5 코엔드 $ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ 는 레셰티힌-투레프 불변량을 계산하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 어떻게 대수적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ 는 $ \mathcal{C} $ 위의 쿼아지트리앙귤러 호프 모나드이며, 브레드된 등가 $ D_T\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ 가 성립한다.
• $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 의 코엔드는 객체로서 $ Z_T(\mathbb{1}) $ 와 동형이며, $ Z_T(T_0) \circ \Omega_{\mathbb{1}} $ 로 유도된 대수적 구조를 가진다.
• $ T = Z $ 인 경우, 즉 $ \mathcal{C} $ 위의 중심 모나드인 경우, $ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ 의 코엔드는 $ Z_Z(\mathbb{1}) $ 와 동치이며, 이는 $ \mathcal{C} $ 의 구조 사상으로 명시적으로 기술된다.
• 표준 분배 법칙 $ \Omega: TZ_T \to Z_T T $ 는 가역적이며 코모나드라우스이므로, $ Z_T $ 가 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 위의 호프 모나드로 승강될 수 있다.
• 만일 $ \mathcal{C} $ 가 구형 융합 카테고리인 경우, $ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ 의 코엔드가 모듈라임을 보이고, 이는 기존의 뭉거(2003)의 결과를 새로운 방법으로 재확인한다.
• 이 프레임워크를 통해 기저 환에 관계없이 레셰티힌-투레프 불변량을 계산할 수 있으며, 특히 카테고리의 차원이 가역적이지 않은 경우에도, 호프 다이어그램을 사용하여 코엔드의 구조를 계산할 수 있다.