[논문 리뷰] The dual optimizer for the growth-optimal portfolio under transaction costs

Stefan Gerhold, Johannes Muhle‐Karbe외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 블랙-숄즈 모델에서 비례 거래비용이 존재하는 상황에서 성장 최적 포트폴리오에 대한 이중 최적화 방법을 제안한다. 그 방법은 그림자 가격 프레임워크를 사용하여 무역을 하지 않는 영역과 최적 성장률에 대한 분수 타일러 전개를 명시적으로 계산한다. 주요 기여는 루트 찾기 문제를 풀기까지의 닫힌 형식의 그림자 가격 표현을 제공함으로써 소규모 거래비용 λ에 대한 점근적 전개를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the maximization of the long-term growth rate in the Black-Scholes model under proportional transaction costs as in Taksar, Klass and Assaf [Math. Oper. Res. 13, 1988]. Similarly as in Kallsen and Muhle-Karbe [Ann. Appl. Probab., 20, 2010] for optimal consumption over an infinite horizon, we tackle this problem by determining a shadow price, which is the solution of the dual problem. It can be calculated explicitly up to determining the root of a deterministic function. This in turn allows to explicitly compute fractional Taylor expansions, both for the no-trade region of the optimal strategy and for the optimal growth rate.

연구 동기 및 목표

• 비례 거래비용이 존재하는 블랙-숄즈 모델에서 장기 성장률 최적화 문제를 해결하기 위해.
• 이전에 무한 시간 주기 소비 문제에 사용된 그림자 가격 접근법을 로그 유용성 기반의 종료 시점 자산 최적화 문제로 확장하기 위해.
• 소규모 거래비용 λ에 대한 무역을 하지 않는 영역과 최적 성장률의 명시적 점근적 전개를 유도하기 위해.
• 비대칭적인 매도/매수 스프레드가 존재함에도 불구하고 그림자 가격과 대칭적인 무역을 하지 않는 영역 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 거래비용 하에서 최적 전략과 성장률을 근사하기 위한 계산적으로 실현 가능한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 매도 가격 S와 매수 가격 (1−λ)S를 갖는 매도-매수 스프레드 모델을 사용하여 비례 거래비용이 존재하는 성장 최적 포트폴리오 문제를 수립한다.
• 매도 및 매수 가격 사이에 위치하며 이중 문제의 최적성 조건을 만족하는 그림자 가격 Ŝ를 도입한다.
• 함수 f(c) = 0에 대한 결정론적 루트 찾기 문제를 풀기까지 그림자 가격을 명시적으로 유도한다.
• 그림자 가격을 사용하여 무역을 하지 않는 영역과 최적 성장률에 대한 분수 타일러 전개(λ^{1/3}, λ^{2/3} 등의 거듭제곱에 대해)를 계산한다.
• 점근적 분석과 원통형 대수적 분해(CAD)를 적용하여 전개에 포함된 핵심 매개변수의 유일성과 양수성을 증명한다.
• 그림자 가격 기반의 무역을 하지 않는 영역은 대칭적이지만, 중간 가격 또는 매도 가격 기반의 영역은 O(λ^{2/3})까지의 근사에서만 대칭적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비례 거래비용이 존재하는 블랙-숄즈 모델에서 성장 최적 포트폴리오가 그림자 가격을 통해 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 거래비용 λ → 0일 때 무역을 하지 않는 영역과 최적 성장률은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ3 그림자 가격의 구조는 무엇이며, 루트 찾기 문제를 풀기까지 명시적으로 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 왜 그림자 가격 기반의 무역을 하지 않는 영역은 대칭이지만, 중간 가격 또는 매도 가격 기반의 영역은 그렇지 않은가?
• RQ5 최적 전략과 성장률에 대해 분수 타일러 전개(λ^{1/3}, λ^{2/3} 등의 거듭제곱에 대해)를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 함수 f(c) = 0의 루트를 풀기까지의 결정론적 문제를 해결함으로써 그림자 가격 Ŝ를 명시적으로 계산할 수 있다.
• 무역을 하지 않는 영역과 최적 성장률은 λ^{1/3}, λ^{2/3} 등의 거듭제곱에 대해 분수 타일러 전개를 갖는다. 이는 그림자 가격 프레임워크에서 대칭적인 행동을 보인다.
• 그림자 가격 기반의 무역을 하지 않는 영역은 대칭적이지만, 중간 가격 또는 매도 가격 기반의 영역은 O(λ^{2/3})까지의 근사에서만 대칭적이다.
• 모든 θ ∈ (0,1) ∪ (1,∞)에 대해 f(c) = 0의 루트는 존재하고 유일하며, 중간값 정리와 단조성 논증을 통해 계산된다. 여기서 θ = µ/σ²이다.
• 함수 f(c)는 임계점 c1를 초과하여 엄격히 증가하므로 루트의 유일성이 보장되며, 분석은 고차수 도함수의 부호 분석을 위해 원통형 대수적 분해(CAD)를 활용한다.
• 성장률 전개 결과, 마찰이 없는 성장률에 대한 주요 보정항의 차수는 λ^{2/3}이며, 거래비용 문헌에서 알려진 점근적 결과와 일치한다.