[논문 리뷰] The DUNE-DPG library for solving PDEs with Discontinuous Petrov--Galerkin finite elements

Felix Gruber, Angela Klewinghaus외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 PDE를 DPG(불연속 페트로프-갈레르킨) 방법을 사용하여 해결하기 위한 유연한 C++ 라이브러리인 Dune-DPG를 제시한다. 이 라이브러리는 최적 및 근사 최적의 시험 공간을 통해 안정적이고 인프-스테이블 변분 형식을 가능하게 하며, 강건한 후행 오차 추정 및 적응형 메쉬 세분화 기능을 제공한다. 이는 선형 수렴과 신뢰할 수 있는 오차 지표를 보여주는 운반 문제에 대해 검증되었다.

ABSTRACT

In the numerical solution of partial differential equations (PDEs), a central question is the one of building variational formulations that are inf-sup stable not only at the infinite-dimensional level, but also at the finite-dimensional one. These properties are important since they represent the rigorous foundations for a posteriori error control and the development of adaptive strategies. The essential difficulty lies in finding systematic procedures to build variational formulations for which these desirable stability properties are (i) provable at the theoretical level while (ii) the approach remains implementable in practice and (iii) its computational complexity does not explode with the problem size. In this framework, the so-called Discontinuous Petrov–Galerkin (DPG) concept seems a promising approach to enlarge the scope of problems beyond second order elliptic PDEs for which this is possible. In the context of DPG, the result for the elliptic case was proven by Gopalakrishnan and Qiu [2014] and requires a p-enriched test space. Recently, the same type of result has been proven by Broersen et al. [2015] for certain classes of linear transport problems using an appropriate hp-enrichment to build the finite dimensional test space. In the light of this new result, we present Dune-DPG, a C++ library which allows to implement the test spaces introduced in Broersen et al. [2015]. The library is built upon the multi-purpose finite element package Dune (see Blatt et al. [2016]). In this paper, we present the current version 0.2 of Dune-DPG which has so far been tested only for elliptic and transport problems. An example of use via a simple transport equation is described. We conclude outlining future work and applications to more complex problems. Dune-DPG is licensed under the GPL 2 with runtime exception and a source code tarball is available together with this paper.

연구 동기 및 목표

• 불연속 페트로프-갈레르킨(DPG) 방법을 사용하여 PDE를 해결하기 위한 유연하고 모듈화된 C++ 라이브러리 개발
• 국소 문제를 통한 근사 최적의 시험 공간 구축을 통해 이산 인프-스테이블리티 보장
• 운반 지배 문제와 같은 도전적인 PDE에서 적응형 메쉬 세분화를 위한 강건한 후행 오차 추정 기능 제공
• 기본적인 타원형 문제 외에도 대류-확산 및 최적 제어 문제를 포함한 광범위한 PDE 지원
• Dune의 TypeTree와 통합된 현대적 C++ 구조를 통해 벡터값 문제의 경우를 포함한 코드 유지보수성 및 사용성 향상

제안 방법

• 고도의 모ularity와 저수준 제어를 위해 Dune 유한요소 프레임워크를 기반으로 활용
• 하나의 하위격자에서의 국소 해를 통한 근사 최적의 시험 함수 구성으로 DPG 방법을 구현하여 이산 인프-스테이블리티 확보
• 시험 공간 V의 곱 구조를 사용하여 셀 단위 잔차의 리즈 상승을 효율적으로 계산
• 여러 시험 기저 간에 계수를 캐시하고 재사용하는 TestspaceCoefficientMatrix 클래스를 도입하여 계산 효율성 향상
• ErrorTools 클래스를 사용하여 유한차원 탐색 공간 VK에 투영된 리즈 상승을 통한 후행 오차 추정 통합
• 후행 추정자에서 유도된 局소 오차 지표에 기반한 적응형 메쉬 세분화 지원

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 다양한 PDE에 대해 체계적으로 이산 인프-스테이블리티를 보장할 수 있는 유한요소 라이브러리가 설계될 수 있는가?
• RQ2 비연속 해를 가진 운반 지배 문제에서 근사 최적의 시험 공간을 갖는 DPG 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ3 접선이 있는 해를 가진 문제에서 DPG의 후행 오차 추정자가 L2 노름에서 진짜 오차를 정확히 반영할 수 있는가?
• RQ4 시험 공간의 세분화 수준(하위격자 수준)을 선택할 때 오차 추정자의 정확성과 신뢰성은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 현대적 C++ 추상화는 복잡한 PDE를 위한 유한요소 소프트웨어의 유지보수성과 성능을 어느 정도 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 순수 운반 문제의 해 ϕ에 대해 메쉬 크기 H가 감소함에 따라 L2 오차에서 선형 수렴이 달성되며, 이는 시험 공간에서 사용된 다항식 차수 1과 일치한다.
• 메쉬 크기 H가 감소함에 따라 후행 오차 추정자 ∥R(uH, f)∥V의 신뢰성이 약간 떨어지며, 이는 추정자가 ϕ뿐 아니라 θ의 오차도 점점 더 잘 포착함을 시사한다.
• 다양한 시험 공간 세분화 수준(h = 2−ℓH)에서도 후행 추정자의 품질은 강건하게 유지되며, 오차 거동에 미미한 영향을 미친다.
• 오차 추정자는 차수 5의 다항식 공간에 대한 리즈 상승 RK의 투영을 통해 계산되며, 적응형 세분화를 위한 신뢰할 수 있는 局소 오차 지표를 제공한다.
• 라이브러리의 모듈화된 설계 덕분에 여러 기저 간에 시험 공간 계수를 재사용할 수 있어 계산 효율성이 크게 향상된다.
• 향후 Dune-TypeTree 및 C++11 구조로의 이관을 통해 유지보수성 향상, 컴파일 시간 단축, 벡터값 문제 지원 향상이 기대된다.