[논문 리뷰] The $ξ,ζ$-Dunford Pettis property

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 11.

Advanced Banach Space Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가산 순서수로 인덱싱된 약한 영인수의 계층을 통해 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 성질을 도입하며, 완전 연속 및 약한 Banach-Saks 연산자와 같은 고전적 연산자 클래스를 일반화한다. 이는 모든 $0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$에 대해 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 가 고유한 닫힌 연산자 아이디얼을 이룬다는 것을 증명하고, 스프레딩 모델 특성화의 순서수 버전을 제시한다: 바나흐 공간이 유전적 $\omega^\xi,\omega^\zeta$-Dunford-Pettis 성질을 갖는 것은 모든 준정규화된 약한 영인수 수열이 $\ell_1^{\omega^\xi}$- 또는 $c_0^{\omega^\zeta}$-스프레딩 모델을 갖는 것과 동치이다.

ABSTRACT

Using the hierarchy of weakly null sequences introduced by Argyros, Merkourakis, and Tsarpalias, we introduce two new families of operator classes. The first family simultaneously generalizes the completely continuous operators and the weak Banach-Saks operators. The second family generalizes the class $\mathfrak{DP}$. We study the distinctness of these classes, and prove that each class is an operator ideal. We also investigate the properties possessed by each class, such as injectivity, surjectivity, and identification of the dual class. We produce a number of examples, including the higher ordinal Schreier and Baernstein spaces. We prove ordinal analogues of several known results for Banach spaces with the Dunford-Pettis, hereditary Dunford-Pettis property, and hereditary by quotients Dunford-Pettis property. For example, we prove that for any $0\leqslant ξ, ζ

연구 동기 및 목표

• 가산 순서수로 인덱싱된 약한 영인수 수열의 계층을 사용하여 고전적 Dunford-Pettis 성질 및 관련 연산자 클래스를 일반화하는 것.
• 연산자 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 를 정의하고 연구하는 것. 이는 모든 $\xi$-약한 영인수 수열 $ (x_n) \subset X $ 과 $\zeta$-약한 영인수 수열 $ (y_n^*) \subset Y^* $ 에 대해 $\lim_n y_n^*(A x_n) = 0$ 인 연산자 $A:X\to Y$ 의 집합이다.
• 모든 $0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$ 에 대해 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 가 고유한, 비투사적, 비전사적, 비대칭적인 연산자 아이디얼임을 확립하는 것.
• 유전적 및 몫 형태의 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 성질을 조사하며, 스프레딩 모델을 통한 특성화를 포함한다.

제안 방법

• Argyros, Merkourakis, 및 Tsarpalilas [3] 의 약한 영인수 수열의 순서수 계층을 사용하여 $0 < \xi \leq \omega_1$ 에 대해 $\xi$-약한 영인수 수열을 정의한다. 여기서 $\xi$ 는 약한 영인수 수열을 노름 영인수로 만들기 위해 필요한 볼록 블록 수열의 복잡도를 측정한다.
• 모든 $\xi$-약한 영인수 수열 $ (x_n) \subset X $ 과 $\zeta$-약한 영인수 수열 $ (y_n^*) \subset Y^* $ 에 대해 $\lim_n y_n^*(A x_n) = 0$ 인 연산자 $A:X\to Y$ 의 집합으로서 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 를 정의한다. 이는 고전적 $\mathfrak{DP}$ 클래스를 일반화한다.
• Schreier 및 Baernstein 공간 구성법을 적용하여 $\textsf{M}_{\xi,\zeta}$ 에 속하는 공간의 예를 생성한다. 특히 $\xi$-약한 영인수 기저를 가진 $X_\xi$-공간을 활용한다.
• $\mathcal{S}_\xi$-스프레딩 모델과 볼록 블록 기법을 사용하여, 바나흐 공간 $X$ 가 유전적 $\omega^\xi,\omega^\zeta$-Dunford-Pettis 성질을 갖는 것은 모든 준정규화된 약한 영인수 수열이 $\ell_1^{\omega^\xi}$- 또는 $c_0^{\omega^\zeta}$-스프레딩 모델을 갖는 것과 동치임을 증명한다.
• 몫 및 $\ell_1$-합 구성법을 사용하여 계층의 엄밀함을 보여주는 반례를 구축한다. $\xi,\zeta > 0$ 이면, $X \in \textsf{wBS}_\xi$, $Y \in \textsf{wBS}_\zeta$ 이지만 $X \oplus_1 Y \notin \textsf{wBS}_\gamma$ 인 공간 $X$ 및 $Y$ 가 존재하며, 이는 $\gamma < \xi + \zeta$ 일 때 성립한다. 이는 클래스의 비자명성을 입증한다.
• 균일한 약한 영인수 성질 원리와 $\mathcal{S}_\xi$-트리에 의한 볼록 블록 선택 기법을 사용하여 노름 추정에서 모순을 이끌어내며, 어떤 수열도 $\gamma < \xi + \zeta$ 에 대해 $\gamma$-약한 영인수일 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 순서수 기반의 약한 영인수 성질 계층을 사용하여 고전적 Dunford-Pettis 성질을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 연산자 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 의 구조적 성질은 무엇인가? 예를 들어, 이것이 연산자 아이디얼을 이룬다는 것과, 그것이 투사적, 전사적, 대칭적인지 여부는 무엇인가?
• RQ3 바나흐 공간에서 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 성질과 스프레딩 모델 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 모든 준정규화된 약한 영인수 수열이 $\ell_1^{\omega^\xi}$- 또는 $c_0^{\omega^\zeta}$-스프레딩 모델을 갖는다는 사실을 통해 $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis 성질의 유전적 형태를 특성화할 수 있는가?
• RQ5 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 는 $\xi$ 및 $\zeta$ 에 따라 엄격하게 증가하는가? 그리고 이를 반례를 통해 어떻게 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$ 에 대해 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 는 닫힌 연산자 아이디얼이며, 비투사적이고 비전사적임이 입증된다.
• 다른 쌍 $ (\xi, \zeta) $ 에 대해 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 는 상호 다르며, 고유한 계층적 연산자 클래스의 체계를 확립한다.
• 모든 $0 < \xi, \zeta < \omega_1$ 에 대해, 바나흐 공간 $X$ 가 유전적 $\omega^\xi, \omega^\zeta$-Dunford-Pettis 성질을 갖는 것은 $X$ 의 모든 준정규화된 약한 영인수 수열이 $\ell_1^{\omega^\xi}$-스프레딩 모델이거나 $c_0^{\omega^\zeta}$-스프레딩 모델인 부분수열을 갖는 것과 동치이다.
• 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 는 완전 연속 연산자와 약한 Banach-Saks 연산자를 모두 일반화하며, 이는 동일한 순서수 기반 프레임워크 아래 통합된다.
• 논문은 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 가 대칭적이지 않음을 보여주는 예를 제시하며, $X \in \textsf{wBS}_\xi$, $Y \in \textsf{wBS}_\zeta$ 이지만 $X \oplus_1 Y \notin \textsf{wBS}_\gamma$ 인 비자명한 예를 제공한다. 여기서 $\gamma < \xi + \zeta$ 이다. 이는 계층의 엄밀함을 입증한다.
• 클래스 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ 의 쌍대 클래스를 규명하고, 이 클래스가 합성과 유한 합에 대해 닫혀 있음을 증명함으로써 아이디얼의 구조가 확인된다.