[논문 리뷰] The Dynamical Degrees of a Mapping

Eric Bedford|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 위의 유리형 사상에 대한 동적 차수를 불변량으로서 도입하고 분석하며, 특히 반복된 차수의 지수 성장률을 통해 동적 복잡도를 측정하는 데서 그 역할을 집중적으로 다룬다. 단항 사상의 경우, p번째 동적 차수 δₚ는 관련 행렬의 p개의 가장 큰 고유값의 곱과 일치하며, 카일러 다양체의 자기동형사상에서 최상위 동적 차수 δ₁이 1을 초과한다면 그것이 무리수여야 한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let f be a rational mapping of a space X . The complexity of (f,X) as a dynamical system is measured by the dynamical degrees $δ_p(f)$, $1\le p\le { m dim}(X)$. We give the definition of the dynamical degrees show how they are computed in certain cases. For instance, we show that if the dynamical degree of an automorphism of a Kähler manifold is greater than one, then it must be irrational.

연구 동기 및 목표

• 복소대수다양체 위의 유리형 사상 f:X→X에 대해 동적 차수 δₚ(f)의 정의와 체계화.
• 동적 차수의 비라션-동치에 대한 불변성과 그들이 동적 복잡도를 측정하는 데서의 역할 확립.
• 정의 행렬의 외적 거듭제곱을 이용해 단항 사상에 대해 동적 차수를 명시적으로 계산.
• 카일러 다양체의 자기동형사상에서 δ₁(f) > 1이면 δ₁(f)가 무리수여야 한다는 것을 증명.
• 동적 차수, 코homology 위의 풀백 연산자에 대한 스펙트럴 반경, 그리고 위상적 엔트로피 사이의 관계 명확화.

제안 방법

• 동적 차수 δ(f)를 limₙ→∞ deg(fⁿ)¹ᐟⁿ로 정의하며, 이는 공액성에 대해 불변이다.
• 코homology 군 H¹¹(X) 또는 Pic(X) 위의 풀백 작용 f*를 사용해 δ(f)를 연산자 노름을 통해 정의.
• 정수 행렬 A로 정의된 단항 사상 f_A에 대해, A의 p번째 외적 거듭제곱 ⋀ᵖA를 사용해 δₚ(f_A)를 계산.
• ⋀ᵖA의 스펙트럼 성질을 이용해 δₚ(f_A)가 A의 p개의 가장 큰 고유값의 곱과 일치함을 보임.
• 카일러 다양체에 이 те올리를 적용해, δ₁ > 1이면 δ₁이 무리수임을 대비법으로 증명하며, 대수적 정수와 단위근을 활용.
• 블로업과 같은 비라션 기하학을 사용해 비정의점을 해결하고, 컴actification 위에서 사상을 정의.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리형 사상 f:X→X의 동적 차수 δ(f)는 무엇이며, 반복의 복잡도를 어떻게 측정하는가?
• RQ2 비라션-동치에 대해 동적 차수는 어떻게 행동하며, 왜 불변인가?
• RQ3 행렬 A와 관련된 단항 사상 f_A에 대해 p번째 동적 차수 δₚ(f_A)의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ4 카일러 다양체의 자기동형사상에서 첫 번째 동적 차수 δ₁(f)가 1을 초과한다면, 왜 그것이 무리수여야 하는가?
• RQ5 동적 차수는 코homology 위의 풀백 연산자 f*의 스펙트럴 반경과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• δ(f) > 1인 C²의 다항식 자기동형사상의 경우, 그 사상은 일반화된 헨온 사상의 합성과 동치이며, δ(f)는 정수이다.
• 동적 차수 δ(f)는 공액성에 대해 불변이며, (fⁿ)* = (f*)ⁿ일 경우 H¹¹(X) 위의 f*의 스펙트럴 반경과 일치한다.
• 단항 사상 f_A에 대해 p번째 동적 차수 δₚ(f_A)는 행렬 A의 p개의 가장 큰 고유값의 곱과 같다.
• 카일러 다양체 자기동형사상에서 첫 번째 동적 차수 δ₁(f) > 1이면, δ₁(f)는 반드시 무리수여야 한다.
• 위상적 엔트로피 h_top(f)는 log(max δₚ(f))에 의해 상한으로 제한되며, f가 헬로모르픽일 경우 등호가 성립한다.
• 동적 차수 δₚ(f)는 대수적 정수이며, 이는 코homology 위에서 정수 행렬이 작용하는 스펙트럴 반경으로 발생하기 때문이다.