[논문 리뷰] The Dynamical Manin-Mumford Conjecture and the Dynamical Bogomolov Conjecture for split rational maps

Dragos Ghioca, Khoa D. Nguyen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 위의 분리된 유리 함수 $\Phi = (f,g)$에 대해 동적 맨인-무프드 및 동적 보고몰로프 추측을 증명하며, 약한 비예외성 조건 하에 기약 곡선 $C$가 무한히 많은 전주기 점을 포함하는 것은 $\Phi$의 어떤 반복에 대해 $C$가 전주기일 때에 한하여 성립함을 보여준다. 증명은 소형 높이 점들의 등분포와 쾌청 집합의 대칭성, 그리고 유안과 창의 전치 정리 등을 결합한다.

ABSTRACT

We prove the Dynamical Bogomolov Conjecture for endomorphisms of P^1 imes P^1 defined over a number field. We use the equidistribution theorem for points of small height with respect to an algebraic dynamical system, combined with a theorem of Levin regarding symmetries of the Julia set. Using a specialization theorem of Yuan and Zhang, we prove the Dynamical Manin-Mumford Conjecture for endomorhisms of P^1 imes P^1 defined over the complex numbers.

연구 동기 및 목표

• 복소수체 위의 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$에서의 자기사상 $\Phi = (f,g)$에 대해 동적 맨인-무프드 추측을 수립하는 것.
• $\overline{\mathbb{Q}}$ 위의 이러한 사상에 대해 동적 보고몰로프 추측을 증명하며, 정규 높이가 0인 점들이 전주기 집합과 연결됨을 밝히는 것.
• 다항함수의 가환성과 그 반복을 분석함으로써, 극도로 비극도적인 사상(예: 단항식, 체비셰프 다항식, 라티스 사상)을 제외한, 극도로 비극도적인 사상 이외의 경우로 결과를 확장하는 것.
• 동적 및 산술 조건을 통해 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$의 곡선이 언제 무한히 많은 $\Phi$-전주기 점을 포함하는지 특성화하는 것.

제안 방법

• 동적 시스템 $\Phi$에 대해 소형 정규 높이 점들의 등분포 정리를 활용한다.
• 레빈의 유리 함수의 쾌청 집합 대칭성에 관한 정리를 적용하여 가능한 동적 행동을 제약한다.
• 유안과 창의 전치 정리를 활용하여 $\overline{\mathbb{Q}}$에서의 결과를 $\mathbb{C}$로 내림림한다.
• 메드베데프-스칼론 이론을 통해 가환 다항함수와 그 반복의 구조를 분석하여 불변 곡선을 분류한다.
• 다항함수 동역학에서 선형 코어빙과 계수 비교를 사용하여 차수와 상수에 대한 조건을 이끌어낸다.
• 문제를 $F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$가 비자명한 주기 곡선을 가질 때로 환원하며, 이는 $d_1 = d_2$ 및 $c_1 = \zeta c_2$ 조건으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기약 곡선 $C \subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$이 $\Phi = (f,g)$에 대해 무한히 많은 $\Phi$-전주기 점을 포함하는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 만약 $C$가 전주기적이지 않다면, $C$ 위의 정규 높이 합이 0으로 수렴하는 점의 무한한 수열이 존재할 조건은 무엇인가요?
• RQ3 어떤 동적 및 산술 조건이 곡선 $C$가 어떤 $\Phi = (f,g)$의 반복에 대해 전주기적이게 하는가?
• RQ4 $f$와 $g$의 쾌청 집합 대칭성이 $C$ 위의 전주기 점 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 두 다항함수 $F(x) = x^{d_1} + c_1$과 $G(x) = x^{d_2} + c_2$가 $F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$에 비자명한 주기 곡선을 가질 때는 언제인가요?

주요 결과

• 기약 곡선 $C \subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$이 무한히 많은 $\Phi$-전주기 점을 포함하는 것은 $\Phi^{\ell_1} \times \Phi^{\ell_2}$에 대해 $C$가 전주기일 때, $d_1^{\ell_1} = d_2^{\ell_2}$를 만족하는 어떤 $\ell_1, \ell_2$에 대해 성립한다.
• 만약 $f$와 $g$가 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에 정의되어 있다면, $C$ 위에 정규 높이 합이 0으로 수렴하는 점의 무한한 수열이 존재하는 것은 $C$가 어떤 $\Phi$의 반복에 대해 전주기일 때와 동치이다.
• 만약 $F(x) = x^{d_1} + c_1$과 $G(x) = x^{d_2} + c_2$가 단항식이나 체비셰프 다항식으로 선형 코어빙되지 않는다면, $F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$가 비자명한 주기 곡선을 가질 조건은 $d_1 = d_2$ 및 $c_1 = \zeta c_2$를 만족하는 $(d_1 - 1)$-번째 단위근 $\zeta$가 존재할 때이다.
• 레빈의 쾌청 집합 대칭성 정리에 따르면, 곡선 $C$가 무한히 많은 전주기 점을 포함한다면, 그 동적 행동은 $f$와 $g$의 쾌청 집합 대칭성에 의해 제약을 받는다.
• 유안과 창의 전치 정리는 $\overline{\mathbb{Q}}$에서의 결과를 $\mathbb{C}$로 옮기는 데 가능하게 하여, $\mathbb{C}$ 위에서의 동적 맨인-무프드 추측을 증명하는 데 기여한다.
• 논문은 극도로 비극도적인 사상이 아닌 한, 극도로 비극도적인 사상이 아닌 조건 하에, $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 위의 분리된 사상 $\Phi = (f,g)$에 대해 동적 보고몰로프 추측을 수립한다.