[논문 리뷰] The edge spectrum of $K_4^-$-saturated graphs

Jun Gao, Xinmin Hou외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 27.

Graph theory and applications참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $K_4^-$-포화 그래프의 간선 스펙트럼을 완전히 규명하여, 간선 수가 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$를 초과하는 모든 그러한 그래프가 이분 그래프임을 증명하고, $[3n-11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 범위 내의 간선 수를 가진 비이분 $K_4^-$-포화 그래프를 구성함으로써, 플러더와 골드의 추측을 해결하고 $K_4^-$의 간선 스펙트럼을 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

Given graphs $G$ and $H$, $G$ is $H$-saturated if $G$ does not contain a copy of $H$ but the addition of any edge $e otin E(G)$ creates at least one copy of $H$ within $G$. The edge spectrum of $H$ is the set of all possible sizes of an $H$-saturated graph on $n$ vertices. Let $K_4^-$ be a graph obtained from $K_4$ by deleting an edge. In this note, we show that (a) if $G$ is a $K_4^-$-saturated graph with $|V(G)|=n$ and $|E(G)|>\lfloor \frac{n-1}{2} floor \lceil \frac{n-1}{2} ceil +2$, then $G$ must be a bipartite graph; (b) there exists a $K_4^-$-saturated non-bipartite graph on $n\ge 10$ vertices with size being in the interval $\left[3n-11, \left\lfloor \frac{n-1}{2} ight floor \left\lceil \frac{n-1}{2} ight ceil +2 ight]$. Together with a result of Fuller and Gould in [{\it On ($\hbox{K}_t-e$)-Saturated Graphs. Graphs Combin., 2018}], we determine the edge spectrum of $K_4^-$ completely, and a conjecture proposed by Fuller and Gould in the same paper also has been resolved.

연구 동기 및 목표

• 관련 그래프에 대한 진전에도 불구하고 여전히 완료되지 않은 $K_4^-$-포화 그래프의 간선 스펙트럼을 완전히 특성화하는 것.
• 플러더와 골드가 제기한, 터란 수 근처의 $K_4^-$-포화 그래프의 구조에 관한 추측을 해결하는 것.
• 정점 수가 $n$인 $K_4^-$-포화 그래프의 가능한 모든 간선 수를 특정하여, $t \geq 4$인 $K_t^-$-포화 그래프에 대한 문헌의 빈도를 메우는 것.

제안 방법

• 가장 짧은 홀수 사이클의 논증과 간선 수의 경계를 사용하여, $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$를 초과하는 모든 $K_4^-$-포화 그래프가 이분 그래프여야 한다는 것을 증명하는 것.
• 구조화된 정점 분할과 간선 집합 설계를 통해 간선 수를 제어할 수 있는 비이분 $K_4^-$-포화 그래프의 가족 $F_n(a,b)$를 구성하는 것.
• 간선 수 함수 $f_n(a,b) = b(n - b - 3) + n + a - b + 1$를 분석하여, $n \geq 10$, $b \geq 2$, $a \geq 0$, $n \geq a + b + 5$ 조건 하에 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 범위를 커버함을 보이는 것.
• 모든 누락된 간선을 추가했을 때 $K_4^-$의 사본이 생성됨을 확인함으로써 $F_n(a,b)$의 $K_4^-$-포화성을 사례 분석을 통해 검증하는 것.
• 기존의 포화 수 $\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor$와 터란 수 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rceil$를 경계로 사용하여 스펙트럼을 완성하는 것.
• 플러더와 골드의 이전 연구 결과와 결합하여, 완전한 간선 스펙트럼이 구간과 한 개의 점의 합집합임을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간선 수가 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$를 초과하는 모든 $K_4^-$-포화 그래프는 반드시 이분 그래프여야 하는가?
• RQ2 간선 수가 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 범위 내에 있는 비이분 $K_4^-$-포화 그래프가 존재할 수 있는가?
• RQ3 상한 범위 $[\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 3, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor]$ 내의 모든 $K_4^-$-포화 그래프는 반드시 완전 이분 그래프 또는 하나의 싱글턴 집합을 가진 완전 삼분 그래프인가?
• RQ4 플러더와 골드가 상한 간선 수 범위에서 $K_4^-$-포화 그래프의 구조에 대해 제기한 추측은 올바른가?
• RQ5 정점 수가 $n$인 $K_4^-$-포화 그래프의 가능한 모든 간선 수는 무엇인가?

주요 결과

• 가장 짧은 홀수 사이클의 논증과 간선 수 경계를 사용하여, $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$를 초과하는 모든 $K_4^-$-포화 그래프가 이분 그래프여야 한다는 것이 증명되었다.
• 모든 $n \geq 10$에 대해, $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 간선 수를 가진 비이분 $K_4^-$-포화 그래프가 존재하며, 이는 가족 $F_n(a,b)$를 통해 구성되었다.
• 모든 $n \geq 10$에 대해 $K_4^-$의 간선 스펙트럼은 $\left\{\left\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\right\rfloor\right\} \cup [2n - 4, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2] \cup \{i(n-i) \mid i \in [1, n-1]\}$로 완전히 결정되었으며, 이는 기존 결과와 신규 결과를 통합한 것이다.
• $F_n(a,b)$ 구성은 $b \geq 2$, $a \geq 0$, $n \geq a + b + 5$ 조건 하에 $a$에 대해 증가하고 $b$에 대해 볼록함수인 간선 수 함수를 통해 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ 내 모든 간선 수를 달성한다.
• 플러더와 골드의 추측, 즉 터란 수 근처의 $K_4^-$-포화 그래프의 구조에 대한 추측은 $[\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 3, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor]$ 범위에서 참으로 확인되었으며, 이 범위는 거의 균형 잡힌 부분을 가진 완전 이분 그래프 또는 두 개의 동일한 부분과 하나의 싱글턴을 가진 삼분 그래프로만 이루어져 있다.
• 완전한 간선 스펙트럼은 $\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor$에서의 단일 점(포화 수), $2n - 4$에서 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$까지의 구간(비이분 그래프로 커버됨), 그리고 $i \in [1, n-1]$에 대해 $i(n-i)$의 터란 수(완전 이분 그래프로 커버됨)를 포함한다.