[논문 리뷰] The effect of deformation of special relativity by conformable derivative

A. Al-Jamel, Mohamed Ghaleb Al-Masaeed외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 특수 상대성 이론을 conformable 분수도 도함수를 사용하여 변형하여, 비선형 또는 분산 매질에서의 상대론적 물리를 기술하는 분수 프레임워크 내에서 레이저 변환과 공리를 재정의한다. 광속의 일정성을 유지하는 α-속도 덧셈 법칙을 유도하고, conformable 파동, 슈뢰딩거 및 고론-클라인 방정식에 대한 로렌츠 공변성을 입증함으로써, 비선형 또는 분산 매질에 대한 일관된 상대론적 형식 체계를 수립한다.

ABSTRACT

In the article, the deformation of special relativity within the frame of conformable derivative is formulated. Within this context, the two postulates of the theory were re-stated. And, the addition of velocity laws were derived and used to verify the constancy of the speed of light. The invariance principle of the laws of physics is demonstrated for some typical illustrative examples, namely, the conformable wave equation, the conformable Schrodinger equation, and the conformable Gordon-Klein equation. The current formalism may be applicable when using special relativity in a nonlinear or dispersive medium.

연구 동기 및 목표

• 비선형 또는 분산 매질에서의 상대론적 물리 현상을 기술하기 위해 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 conformable 분수도 도함수를 사용하여 재구성하는 것.
• 특수 상대성 이론의 두 공리—광속의 일정성과 물리 법칙의 불변성—을 conformable 도함수 프레임워크 내에서 재기술하는 것.
• conformable 로렌츠 변환에 기반한 α-속도 덧셈 법칙을 유도하고, 광속의 불변성을 보장하는 것.
• 핵심 물리 방정식—conformable 파동, 슈뢰딩거 및 고론-클라인 방정식—이 α-로렌츠 변환에 대해 불변임을 검증하는 것.
• 일관된 상대론적 역학을 위한 conformable 4벡터 형식 체계를 구축하는 것—이를 위해 공변 및 반공변 이동량, 연산자 및 α-다람베르티안을 포함한다.

제안 방법

• 순서 α에 대한 conformable 도함수를 Dα_t f(t) = lim_{ε→0} [f(t + εt^{1−α}) − f(t)] / ε 로 정의하여, 표준 미적분학의 성질을 유지하는 분수 미적분학을 가능하게 한다.
• α-로렌츠 변환을 α-변형 아인슈타인 인자 Γα = 1 / √(1 − v²α/c²α) 를 사용하여 정의하여, 공간 및 시간 좌표를 수정한다.
• α-속도 덧셈 법칙을 유도: u′_α = (u_α − v_α) / (1 − v_α u_α / c²α), 변환에 대한 c의 불변성을 증명한다.
• 사슬의 법칙과 conformable 편도함수를 적용하여 conformable 파동 방정식 ∇²αΨ − (1/c²α) Dα_t Dα_t Ψ = 0 의 공변성 테스트를 수행한다.
• α-공변 및 α-반공변 이동량을 포함한 conformable 4벡터를 구성하고, α-다람베르티안 ∂α_μ ∂μ,α = (1/c²α) ∂²α/∂t²α − ∇²α 를 정의한다.
• 이 형식 체계를 conformable 디랙 방정식으로 확장하여, 변환 행렬 S 가 SγμS⁻¹ αΛν_μ = γν 를 만족함으로써 로렌츠 공변성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 상대성 이론의 공리는 어떻게 conformable 분수도 도함수 프레임워크 내에서 재정의될 수 있는가?
• RQ2 conformable 로렌츠 변환에 기반한 α-속도 덧셈 법칙은 광속의 일정성을 유지하는가?
• RQ3 conformable 파동, 슈뢰딩거 및 고론-클라인 방정식과 같은 근본 방정식들은 α-로렌츠 변환에 대해 불변인가?
• RQ4 에너지-운동량 연산자와 α-다람베르티안을 포함한 일관된 conformable 4벡터 형식 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ5 적절한 변환 행렬 S 를 사용할 때 conformable 디랙 방정식은 α-로렌츠 변환에 대해 로렌츠 공변성을 갖는가?

주요 결과

• α-속도 덧셈 법칙 u′_α = (u_α − v_α) / (1 − v_α u_α / c²α) 는 u_α = c 일 때 u′_α = c 임을 보여주며, 모든 α 관성 기준프레임에서 광속의 일정성이 확인된다.
• conformable 파동 방정식 ∇²αΨ − (1/c²α) Dα_t Dα_t Ψ = 0 는 사슬의 법칙 적용과 좌표 변환을 통해 α-로렌츠 변환에 대해 불변임을 입증한다.
• conformable 슈뢰딩거 방정식 iħα ∂αΨ/∂tα = EαΨ 는 α-로렌츠 형식 체계와 일관되며, 공변 형태로 표현된 에너지-운동량 4벡터 Pα_μ = (Eα/cα, −p̂α) 를 포함한다.
• conformable 고론-클라인 방정식 [∂α_μ ∂μ,α + m²α c²α / ħ²α]Ψ = 0 이 α-로렌츠 변환에 대해 불변임을 입증하여 상대론적 일관성을 확인한다.
• conformable 디랙 방정식 [iγμ ∂α_μ − mα]Ψ = 0 는 로렌츠 공변성을 갖는다. 변환 행렬 S 는 SγμS⁻¹ αΛν_μ = γν 를 만족하며, α-로렌츠 부스트에 대한 불변성을 보장한다.
• α-로렌츠 변환 행렬 αΛμ_ν 와 αΛν_μ 는 반공변 및 공변 형태로 유도되었으며, 계량 변환을 통한 역행렬 관계 (αΛμ_ν)⁻¹ = αΛν_μ 가 확인되었다.