[논문 리뷰] The effects of interactions on the topological classification of free fermion systems

Lukasz Fidkowski, Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 14.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 T²=1을 만족하는 T 대칭성을 갖는 8개의 결합된 마요라나 체인 모델을 사용하여, 자유 페르미온 시스템의 위상 분류를 ℤ에서 ℤ₈로 감소시키는 상호작용의 영향을 보여준다. 이는 동일한 ℤ 불변량을 갖는 두 위상 사이에 명시적인 단조적 경로를 구성함으로써 이루어지며, 상전이 영역은 강한 상호작용으로 인해 격리된 고립된 영역으로, 임계점은 2차원 이징 임계역학에 속한다.

ABSTRACT

We describe in detail a counterexample to the topological classification of free fermion systems. We deal with a one dimensional chain of Majorana fermions with an unusual T symmetry. The topological invariant for the free fermion classification is an integer, but with the introduction of interactions it becomes well defined only modulo 8. We illustrate this in the microscopic model of the Majorana chain by constructing an explicit path between two distinct free phases whose topological invariants are equal modulo 8, along which the system remains gapped. The path goes through a strongly interacting region. We also find the field theory interpretation of this phenomenon. There is a second order phase transition between the two phases in the free theory which can be avoided by going through the strongly interacting region. We show that this transition is in the 2D Ising universality class, where a first order phase transition line, terminating at a second order transition, can be avoided by going through the analogue of a high temperature paramagnetic phase. In fact, we construct the full phase diagram of the system as a function of the thermal operator (i.e. the mass term that tunes between the two phases in the free theory) and two quartic operators, obtaining a first order Peierls transition region, a second order transition region, and a region with no transition.

연구 동기 및 목표

• 자유 페르미온 시스템에서 ℤ 불변량으로 분류되는 서로 다른 위상 간에 상호작용이 존재할 경우 단조적으로 연결될 수 있는지 조사하기.
• T²=1 대칭성을 갖는 8개의 결합된 마요라나 체인의 미세구조 모델을 구성하여 ℤ 분류의 붕괴를 입증하기.
• 명시적인 하미르토니안 경로를 사용하여 상호작용으로 인해 위상 불변량이 ℤ₈로 감소함을 보여주기.
• 열역학적 및 질서 매개변수 연산자 관점에서 위상도를 분석하여 제1종, 제2종, 전이 없음 영역을 식별하기.
• 2차원 이징 모델을 통한 장 이론적 해석을 제공하여 피하기된 전이에서의 임계 행동을 보여주기.

제안 방법

• T²=1을 만족하는 T 대칭성을 갖는 8개의 평행 마요라나 체인에 대한 하미르토니안을 구성하며, T는 홀수 위치의 마요라나 연산자의 부호를 뒤집는다.
• T 불변의 4차 상호작용 항을 도입하여 8개의 경계 마요라나 모드를 고립시키며, k=0과 k=8 위상 간의 단조적 연결을 가능하게 한다.
• 마요라나 페르미온 ψ_j와 그 이차형식을 사용하여 미세구조 모델을 연속장 이론으로 매핑하고, 상호작용 존재 시 효과적인 저에너지 이론을 식별한다.
• 폴리아코프의 공식을 사용하여 쌍체 상호작용과 열역학적 연산자에 관련된 결합 상수 A와 B의 러닝을 계산한다.
• RG 흐름도를 분석하여 고정점과 위상 경계를 식별하며, B>0 영역이 B=-2A 이상일 경우 제1종 전이에 해당함을 보여준다.
• B<0 영역는 2차원 이징 임계역학에 속하며, m>0과 m<0 위상 간의 전이가 패라자이믹 영역을 통해 피함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 페르미온 분류에서 동일한 ℤ 위상 불변량을 갖는 두 위상은 상호작용이 존재할 경우 단조적으로 연결될 수 있는가?
• RQ2 T²=1을 만족하는 T 대칭성이 1차원 마요라나 체인의 위상 분류를 어떻게 수정하는가?
• RQ3 T 불변의 4차 상호작용 도입이 8개의 경계 마요라나 모드를 고립시키는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 상호작용 시스템에서 m>0과 m<0 위상 간의 피한 전이의 임계역학 클래스는 무엇인가?
• RQ5 열역학적 및 질서 매개변수 연산자의 상호작용을 통해 제1종, 제2종, 전이 없음 영역을 포함한 전체 위상도는 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 자유 페르미온 시스템의 ℤ 위상 불변량은 상호작용으로 인해 ℤ₈로 감소하며, k=0과 k=8 위상 사이에 명시적인 단조적 경로를 구성함으로써 입증되었다.
• 자유 이론에서 제2종 전이로 분리된 두 위상은 강한 상호작용과 고립된 영역을 거쳐 단조적으로 연결되며, 이는 이들이 위상적으로 동치임을 증명한다.
• m>0과 m<0 위상 간의 임계점은 2차원 이징 임계역학에 속하며, B<0 영역를 통해 전이가 피함을 확인하였다.
• 위상도는 제1종 전이 영역(B>0, B=-2A 이상), 제2종 전이 영역(B≈0 근처), 비전이 영역(B<0, B=2A 이상)을 포함한다.
• 상호작용 영역에서 효과적인 저에너지 이론은 질서 매개변수의 응집에 의해 제어되는 질량 항이 있는 자유 페르미온으로 기술된다.
• 결합 상수 A와 B의 리노멀화 그룹 흐름 방정식은 B=2A 선이 고정선임을 보이며, 흐름의 구조는 질적으로 다른 임계 행동을 갖는 별개의 위상 영역 존재를 확인한다.