[논문 리뷰] The eigenvalues of stochastic blockmodel graphs

Minh Tang|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Random Matrices and Applications참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정점 수가 커질 때 스토하스틱 블록모델 그래프의 인cidency 행렬의 가장 큰 고유값들의 동시 점근분포를 규명한다. 이 고유값들이 유계된 공분산을 가진 다변량 정규분포로 동시에 수렴함을 증명하며, 에르되시-레니 그래프에 대해 푸레디와 코믈로스가 확립한 결과를 공동 구조를 가진 더 복잡한 스토하스틱 블록모델 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We derive the limiting distribution for the largest eigenvalues of the adjacency matrix for a stochastic blockmodel graph when the number of vertices tends to infinity. We show that, in the limit, these eigenvalues are jointly multivariate normal with bounded covariances. Our result extends the classic result of Füredi and Komlós on the fluctuation of the largest eigenvalue for Erdős-Rényi graphs.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 블록모델 그래프에서 인cidency 행렬의 가장 큰 고유값들의 점근분포를 기술하는 것.
• 에르되시-레니 그래프에 대해 푸레디와 코믈로스가 확립한 변동 결과를 이질적인 간선 확률을 가진 더 일반적인 스토하스틱 블록모델 프레임워크로 확장하는 것.
• 노드 블록 할당에 따라 간선 확률이 달라지는 공동 구조를 가진 무작위 그래프의 스펙트럼 행동을 분석하는 것.
• 블록 확률과 공동체 크기에 대한 일반 조건 하에서 가장 큰 고유값들의 동시 수렴이 다변량 정규분포로 이루어짐을 확립하는 것.

제안 방법

• 저명도가 낮은 결정적 블록 행렬과 독립적이고 평균이 0이며 이질적인 분산을 가진 항목들을 가진 일반화된 위그너 행렬의 합으로 인cidency 행렬을 모델링한다.
• 블록 구조를 조건으로 하여 랜덤 변동 행렬의 이차형식에 대해 린데베르그-플레러 중심극한정리를 적용한다.
• 고유벡터와 블록 확률 행렬의 경험적 모멘트를 사용하여 각 고유값 변동의 점근분산을 유도한다.
• 슬러츠키의 정리와 크라머-월드 장치를 사용하여 동시에 수렴이 다변량 정규분포로 이루어짐을 증명한다.
• 고유벡터와 블록 확률 행렬을 포함하는 이차형식의 기대값을 통해 한계 공분산 행렬을 특성화한다.
• 블록 확률 행렬의 고유값들이 단순하다고 가정하고, 경험적 고유값과 모집단 고유값을 연결하기 위해 스펙트럼 섭동 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노드 수가 증가함에 따라 스토하스틱 블록모델 그래프의 인cidency 행렬의 가장 큰 고유값들은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 스토하스틱 블록모델 그래프에서 가장 큰 고유값들의 동시 분포는 한계에서 다변량 정규분포인가?
• RQ3 이 모델에서 고유값 변동의 점근평균과 공분산은 에르되시-레니 경우와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ4 공동체 구조(블록 할당)는 인cidency 행렬의 한계 스펙트럼 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 일반적인 블록 확률 구조 하에서 고유값의 변동이 다변량 정규근사로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 노드 수가 무한대에 접근함에 따라 스토하스틱 블록모델 그래프에서 인cidency 행렬의 가장 큰 고유값들은 동시에 다변량 정규분포로 수렴한다.
• 고유값 변동의 한계 공분산 행렬은 유계이며 고유벡터와 블록 확률 행렬에 의존한다.
• 각 고유값 변동의 점근평균은 블록 확률 행렬의 해당 고유값의 역수에 비례한다.
• 고유값의 동시 변동은 고유벡터와 간선 확률 행렬의 이차형식에서 유래하는 공분산 구조에 의해 지배된다.
• 이 결과는 에르되시-레니 그래프에 대해 푸레디와 코믈로스가 확립한 고유값 변동 결과를 임의의 공동체 구조를 가진 스토하스틱 블록모델로 일반화한다.
• 블록 구조가 고정되어 있고 공동체가 열화되지 않은 한, 간선 확률이 블록 간에 이질적일 경우에도 한계분포는 여전히 다변량 정규분포를 유지한다.