[논문 리뷰] The eigenvalues of the sample covariance matrix of a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model

Anja Janßen, Thomas Mikosch외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다변량 체중 꼬리(stochastic volatility) 모델에서 표본 공분산 행렬의 고유값과 고유벡터의 점근적 행동을 분석한다. 정규화된 시간 시리즈에 대한 대규모 편차 이론을 사용하여 다변량 α-안정한 극한 분포를 도출하며, 체중 꼬리 잔여항이 존재할 경우 극한 분포가 독립적인 구조를 띠는 반면, 체중 꼬리 볼래틸리티 시계열이 존재할 경우 볼래틸리티의 의존 구조에 의해 결정되는 의존적인 극한 구조를 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model and analyze the large-sample behavior of its sample covariance matrix. We study the limiting behavior of its entries in the infinite-variance case and derive results for the ordered eigenvalues and corresponding eigenvectors. Essentially, we consider two different cases where the tail behavior either stems from the i.i.d. innovations of the process or from its volatility sequence. In both cases, we make use of a large deviations technique for regularly varying time series to derive multivariate $α$-stable limit distributions of the sample covariance matrix. While we show that in the case of heavy-tailed innovations the limiting behavior resembles that of completely independent observations, we also derive that in the case of a heavy-tailed volatility sequence the possible limiting behavior is more diverse, i.e. allowing for dependencies in the limiting distributions which are determined by the structure of the underlying volatility sequence.

연구 동기 및 목표

• 다변량 체중 꼬리(stochastic volatility) 모델에서 표본 공분산 행렬의 고유값과 고유벡터의 점근적 행동을 이해하는 것.
• 체중 꼬리 잔여항과 체중 꼬리 볼래틸리티 시계열 간의 두 경우를 구분하는 것.
• 무한 분산 조건 하에서 표본 공분산 행렬의 다변량 α-안정한 극한 분포를 도출하는 것.
• 볼래틸리티 시계열의 의존성이 고유값과 고유벡터의 극한 분포적 구조에 미치는 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• 정규화된 시간 시리즈에 대한 대규모 편차 이론을 적용하여 다변량 확률과정에서 꼬리 행동을 분석하는 것.
• 무한 분산 가정 하에서 표본 공분산 행렬의 다변량 α-안정한 극한 분포를 도출하는 것.
• 서로 다른 두 경우를 별도로 분석: i.i.d. 잔여항이 정규화되어 있을 경우와 볼래틸리티 시계열이 정규화되어 있을 경우.
• 스펙트럼 분석을 통해 극한에서 순서화된 고유값과 대응하는 고유벡터를 연구하는 것.
• 체중 꼬리의 원인이 고유벡터와 고유값의 극한 분포에 미치는 영향을 명시적으로 특성화하는 것 — 잔여항 vs. 볼래틸리티.
• 정규화된 과정의 성질을 활용하여 α-안정한 극한으로의 분포 수렴을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 체중 꼬리(stochastic volatility) 모델에서 표본 공분산 행렬의 고유값은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 잔여항이 정규화되어 있을 경우 표본 공분산 행렬의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 잔여항이 아닌 볼래틸리티 시계열이 정규화되어 있을 경우 극한 행동은 어떻게 다를까?
• RQ4 볼래틸리티 시계열의 의존성이 고유값과 고유벡터의 극한 분포에 얼마나 영향을 미치는가?
• RQ5 무한 분산 조건 하에서 표본 공분산 행렬의 극한 분포는 다변량 α-안정한 것으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 잔여항이 체중 꼬리이면서 i.i.d.일 경우, 표본 공분산 행렬의 극한 행동은 독립 관측치와 유사하며, 고유값은 다변량 α-안정한 분포로 수렴한다.
• 체중 꼬리 볼래틸리티 시계열이 존재할 경우, 극한 분포는 볼래틸리티 시계열의 시간적 의존성을 반영한 의존적 구조를 띤다.
• 극한 고유값과 고유벡터는 다변량 α-안정한 분포로 분포 수렴하며, 이 의존성은 볼래틸리티의 순차적 의존성에 의해 결정된다.
• 정규화된 시간 시리즈에 대한 대규모 편차 기법을 통해 장기적 의존성 존재하더라도 이러한 α-안정한 극한을 도출할 수 있다.
• 결과적으로, 체중 꼬리의 원인 — 잔여항 vs. 볼래틸리티 — 이 표본 공분산 행렬의 스펙트럼 성질에서 근본적으로 다른 극한 행동을 유도함을 보여준다.
• 분석 결과, 볼래틸리티 시계열이 정규화되어 있을 경우 극한 분포가 탈퇴하지 않고 비퇴화된 비자명한 의존성을 유지함을 확인한다.