[논문 리뷰] The Eigenvalues Slicing Library (EVSL): Algorithms, Implementation, and Software

Ruipeng Li, Yuanzhe Xi외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 14.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

EVSL은 스펙트럼 분할과 다항식 및 유리식 필터링을 결합하여 대규모 희소 대칭 고유값 문제를 해결하는 소프트웨어 라이브러리이다. 이는 수천 개의 내부 고유값을 효율적으로 계산할 수 있도록 하며, 카일로프 부분공간 방법과 부분공간 반복법을 활용한다. 행렬 자유형 연산과 확장 가능한 병렬 처리를 지원하여 전자 구조 계산의 고차원 문제에 전통적 방법보다 뛰어난 성능을 제공한다.

ABSTRACT

This paper describes a software package called EVSL (for EigenValues Slicing Library) for solving large sparse real symmetric standard and generalized eigenvalue problems. As its name indicates, the package exploits spectrum slicing, a strategy that consists of dividing the spectrum into a number of subintervals and extracting eigenpairs from each subinterval independently. In order to enable such a strategy, the methods implemented in EVSL rely on a quick calculation of the spectral density of a given matrix, or a matrix pair. What distinguishes EVSL from other currently available packages is that EVSL relies entirely on filtering techniques. Polynomial and rational filtering are both implemented and are coupled with Krylov subspace methods and the subspace iteration algorithm. On the implementation side, the package offers interfaces for various scenarios including matrix-free modes, whereby the user can supply his/her own functions to perform matrix-vector operations or to solve sparse linear systems. The paper describes the algorithms in EVSL, provides details on their implementations, and discusses performance issues for the various methods.

연구 동기 및 목표

• 대규모 대칭 고유값 문제에서 수천 개의 내부 고유값을 계산하는 데 도전하는 문제를 해결한다. 특히 전자 구조 계산 분야에서의 적용을 고려한다.
• ARPACK나 Anasazi와 같은 기존 소프트웨어의 한계를 극복한다. 이들 소프트웨어는 스펙트럼의 끝부분에 위치한 몇 개의 고유값 계산에 최적화되어 있다.
• 행렬 자유형 연산과 병렬 실행을 지원하는 확장 가능하고 유연한 소프트웨어 라이브러리를 개발한다. 이는 고성능 컴퓨팅 환경에 적합하다.
• 직교화 비용을 줄이는 필터링 기법을 통해 표준 및 일반화된 고유값 문제를 효율적으로 해결할 수 있도록 한다.
• 다양한 과학적 워크로드를 지원하는 다항식 및 유리식 필터링을 모두 포함한 스펙트럼 분할을 위한 모듈식이고 확장 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 스펙트럼을 부분구간으로 나누어 각 부분구간을 별도로 처리하는 스펙트럼 분할 기법을 구현한다. 이때 필터링 기법을 사용한다.
• 행렬 분해 없이 스펙트럼 프로젝터를 근사하기 위해 체비셰프 또는 체비셰프 유사 반복을 통한 다항식 필터링을 적용한다.
• 특정 부분구간을 타겟으로 하는 유리함수를 구성하여 유리식 필터링을 적용한다. 이 경우 이동된 행렬 $A - \sigma_j B$ 의 분해가 필요하다.
• 필터링을 랑츠 알고리즘과 부분공간 반복법에 통합하여, 투영된 카일로프 부분공간에서 리츠 쌍을 추출한다.
• 사용자가 고유한 행렬-벡터 곱셈 및 선형 해법 루틴을 제공하는 행렬 자유형 모드를 지원한다. 이는 암시적 또는 대규모 연산자 사용에 적합하다.
• 분산 메모리 시스템을 대상으로 MPI 기반의 병렬 구현을 개발한다. 유리식 필터링의 경우 직접 해법 대신 반복 해법을 도입할 계획이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 분할을 필터링 기법과 효과적으로 조합하여 수천 개의 내부 고유값을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 CPU 시간, 메모리 사용량, 확장성 측면에서 다항식 필터링과 유리식 필터링 간의 상대적 성능 차이는 무엇인가?
• RQ3 유리식 필터링에서 행렬 자유형 연산과 반복 선형 해법을 효과적으로 사용하여 대규모 문제에서 메모리 오버헤드를 줄일 수 있는가?
• RQ4 일반화된 고유값 문제에서 질량 행렬 $B$ 의 조건수에 따라 다항식 필터링과 유리식 필터링의 선택은 어떻게 달라지는가?
• RQ5 분산 메모리 환경에서 유리식 필터링 알고리즘의 확장에 있어 주요 구현 과제는 무엇인가?

주요 결과

• 2D 문제에서는 $A - \sigma_j B$ 의 저비용 분해 덕분에 랑츠 알고리즘과 함께 유리식 필터링이 다항식 필터링보다 더 효율적이다.
• 대규모 3D 문제에서는 $A - \sigma_j B$ 의 분해 비용이 매우 높기 때문에 다항식 필터링이 유리식 필터링보다 더 효율적이다.
• 유리식 필터링은 이동된 행렬의 분해를 저장해야 하므로 다항식 필터링보다 메모리 사용량이 크게 높다.
• 체비셰프 다항식 반복은 $B$ 를 포함한 시스템을 분해 없이 효율적으로 해결할 수 있어, $B$ 가 잘 조건화되어 있을 경우 다항식 필터링이 실현 가능하다.
• 유리식 필터링의 성능은 $A - \sigma_j B$ 분해의 비용에 의존한다. 만약 분해 비용이 너무 높다면 다항식 필터링이 여전히 실현 가능한 대안이 된다.
• 향후 연구에서는 유리식 필터링의 직접 해법을 반복 해법으로 대체하여, 특히 병렬 환경에서 메모리 사용량을 줄일 계획이다.