[논문 리뷰] The Einstein-Cartan-Dirac theory

Swanand Khanapurkar|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 28.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 새로운 질량에 의존하는 길이 척도 $L_{cs}$를 포함하는 일반화된 아인슈타인-카르탕-디랙(Einstein-Cartan-Dirac, ECD) 이론을 제안하며, 양자역학적 효과와 중력 효과를 통합한다. WKB 유사 전개와 뉴먼-펜로즈(Neumann-Penrose) 형식을 사용하여, 저질량 근사에서는 중력이 1차적으로 소멸하고, 고질량 근사에서는 델타-원천을 가진 포아송 방정식으로 줄어들며, 이는 소질량과 대질량 간의 곡률-비틀림 대칭성(duaity)을 시사한다.

ABSTRACT

There are various generalizations of Einstein's theory of gravity (GR); one of which is the Einstein-Cartan (EC) theory. It modifies the geometrical structure of manifold and relaxes the notion of affine connection being symmetric. The theory is also called $U_4$ theory of gravitation; where the underlying manifold is not Riemannian. The non-Riemannian part of the space-time is sourced by the spin density of matter. Here mass and spin both play the dynamical role. We consider the minimal coupling of Dirac field with EC theory; thereby calling the full theory as Einstein-Cartan-Dirac (ECD) theory. In the recent works by T.P Singh titled "A new length scale in quantum gravity", the idea of new unified; mass dependent length scale $L_{cs}$ in quantum gravity has been proposed. We discuss this idea and formulate ECD theory in both - standard length scales as well as this new length scale. We found the non-relativistic limit of ECD theory using WKB-like expansion in $\sqrt{\hbar}/c$ of the ECD field equations with both the length scales. At leading order, ECD equations with standard length scales give Schrödinger-Newton equation. With $L_{cs}$, in the low mass limit, it gives source-free Poisson equation and for higher mass limit, it reduces to Poisson equation with delta function source. Based on this, a falsifiable test of the idea of $L_{cs}$ has been proposed. Next, we formulate ECD theory with both the length scales (especially the Dirac equation (Hehl-Datta equation) and Contorsion spin coefficients) in Newman-Penrose (NP) formalism. The idea of $L_{cs}$ suggests a symmetry between small and large masses. Formulating ECD theory with $L_{cs}$ in NP formalism is desirable because NP formalism happens to be the common vocabulary for the description of low masses (Dirac theory) and high masses (gravity theories). A duality between Curvature and torsion has also been discussed.

연구 동기 및 목표

• ECD 이론의 비상대론적 근사를 $\sqrt{\hbar}/c$에 대한 WKB 유사 전개를 통해 조사하기.
• 뉴먼-펜로즈(NP) 형식을 사용하여 ECD 이론을 기술함으로써 저에너지(디랙) 및 고에너지(중력) 물리학의 기술을 통합하기.
• 곡률-비틀림 대칭성에 대한 추측을 시험하기: $L_{cs}$를 통한 통합 길이 척도를 통해 소질량은 비틀림을, 대질량은 곡률을 원천으로 하는 것.
• 비선형 디랙 방정식과 $U_4$ 시공간에서의 장 방정식에 $L_{cs}$의 영향을 탐구하기.
• 양자역학적 및 중력적 영역이 $L_{cs}$ 척도를 통해 상호 대칭성을 이루는 이론적 프레임워크를 수립하기.

제안 방법

• 표준 길이 척도와 $L_{cs}$ 척도를 모두 포함한 ECD 장 방정식의 비상대론적 근사를 $\sqrt{\hbar}/c$에 대한 WKB 유사 전개를 통해 유도하기.
• 뉴먼-펜로즈(NP) 형식을 사용하여 ECD 장 방정식을 스핀르-티드라 변수로 표현함으로써 스핀-1/2 및 중력장의 통합 기술 가능하게 하기.
• 비대칭 애프린 연결과 비틀림을 가진 $U_4$ 시공간에서 헤헬-다타 방정식을 수정된 디랙 방정식으로 유도하기.
• 양자역학과 고전적 중력 영역 사이를 연결하는 통합 길이 척도 $L_{cs} = \sqrt{\hbar c / (G m)}$ 도입하기.
• 비틀림이 있는 민코프스키 시공간에서의 비선형 디랙 방정식을 분석하여 곡률-비틀림 대칭성 추측을 시험하기.
• 벨린반테-로젠펠트 대칭화 절차를 사용하여 비틀림이 있는 곡률 시공간에서 디랙 장의 보존 에너지-운동량 텐서를 구성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 길이 척도와 비교하여 $L_{cs}$ 길이 척도를 포함함으로써 ECD 이론의 비상대론적 근사는 어떻게 수정되는가?
• RQ2 표준 길이 척도를 사용할 때, $L_{cs}$를 사용한 저질량 근사에서 ECD 방정식의 행동은 어떠한가? 그리고 이는 원천이 없는 포아송 방정식을 유도하는가?
• RQ3 NP 형식은 $L_{cs}$를 포함한 ECD 이론을 일관적으로 기술할 수 있는가? 그리고 이는 비틀림과 곡률 간의 대칭성을 드러내는가?
• RQ4 $L_{cs}$ 기반 ECD 이론은 소질량이 비틀림을 원천으로 하고 대질량이 곡률을 원천으로 하는 곡률-비틀림 대칭성 추측을 지지하는가?
• RQ5 비틀림이 있는 민코프스키 시공간에서 비선형 디랙 방정식을 푸는 데서 제안된 대칭성에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 저질량 근사에서 $L_{cs}$를 사용할 경우, ECD 이론의 비상대론적 근사는 원천이 없는 포아송 방정식을 유도하며, 이는 소질량이 1차적으로 중력을 기여하지 않음을 시사한다.
• 고질량 근사에서 $L_{cs}$를 사용할 경우, 비상대론적 근사는 델타-함수 원천을 가진 포아송 방정식으로 줄어들며, 고전적 뉴턴 포텐셜을 복원한다.
• 표준 길이 척도를 사용할 경우, ECD 이론의 비상대론적 근사는 양자역학과 중력을 연결하는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 재현한다.
• 뉴먼-펜로즈 형식은 $L_{cs}$를 포함한 ECD 방정식을 성공적으로 통합하여, 비틀림이 있는 시공간에서 스핀르 역학과 중력장의 통합 기술을 가능하게 한다.
• 비틀림이 있는 민코프스키 시공간에서의 비선형 디랙 방정식 해를 구하여 곡률-비틀림 대칭성 추측을 지지한다.
• $L_{cs}$ 기반 ECD 이론은 소질량(비틀림을 통한)과 대질량(곡률을 통한) 간의 깊은 대칭성을 시사하며, 이를 곡률-비틀림 대칭성 추측으로 정형화한다.