[논문 리뷰] The $\ell^p$-metrization of functors with finite supports

Iryna Banakh, Тарас Банах외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 04.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 19인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 집합의 범주에서 유한한 지지 집합을 가진 함자에 대해 ℓp-거리화를 도입하며, 함자 공간 FX 위에 자연스러운 거리 $d^p_F X$를 정의한다. 이 거리는 각 유한 지지 집합에 의해 유도되는 자연스러운 사상 $X^n \to FX$가 $X^n$의 ℓp-거리에 대해 비팽창성임을 만족하는 가장 큰 준거리이다. 주요 기여는 $d^p_F X$가 거리가 되는 조건을 규명한 것이다: 함자가 단일 원소 집합을 보존하고, 다음 네 조건 중 하나 이상을 만족할 경우에 해당한다—리프시츠 비연결성, $p=1$, 유한 차수, 또는 지지 집합 보존—또한 유도된 함자 $F^p$가 리프시츠 함수와 다양한 함수 클래스를 보존한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let $p\in[1,\infty]$ and $F:\mathbf{Set} o\mathbf{Set}$ be a functor with finite supports in the category $\mathbf{Set}$ of sets. Given a non-empty metric space $(X,d_X)$, we introduce the distance $d^p_{FX}$ on the functor-space $FX$ as the largest distance such that for every $n\in\mathbb N$ and $a\in Fn$ the map $X^n o FX$, $f\mapsto Ff(a)$, is non-expanding with respect to the $\ell^p$-metric $d^p_{X^n}$ on $X^n$. We prove that the distance $d^p_{FX}$ is a pseudometric if and only if the functor $F$ preserves singletons; $d^p_{FX}$ is a metric if $F$ preserves singletons and one of the following conditions holds: (1) the metric space $(X,d_X)$ is Lipschitz disconnected, (2) $p=1$, (3) the functor $F$ has finite degree, (4) $F$ preserves supports. We prove that for any Lipschitz map $f:(X,d_X) o (Y,d_Y)$ between metric spaces the map $Ff:(FX,d^p_{FX}) o (FY,d^p_{FY})$ is Lipschitz with Lipschitz constant $\mathrm{Lip}(Ff)\le \mathrm{Lip}(f)$. If the functor $F$ is finitary, has finite degree (and preserves supports), then $F$ preserves uniformly continuous function, coarse functions, coarse equivalences, asymptotically Lipschitz functions, quasi-isometries (and continuous functions). For many dimension functions we prove the formula $\dim F^pX\le\mathrm{deg}(F)\cdot\dim X$. Using injective envelopes, we introduce a modification $\check d^p_{FX}$ of the distance $d^p_{FX}$ and prove that the functor $\check F^p:\mathbf{Dist} o\mathbf{Dist}$, $\check F^p:(X,d_X)\mapsto (FX,\check d^p_{FX})$, in the category $\mathbf{Dist}$ of distance spaces preserves Lipschitz maps and isometries between metric spaces.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 유한 지지 집합을 가진 함자 $F: \text{Set} \to \text{Set}$에 대해 함자 공간 $FX$에 대한 표준적인 거리 구조를 개발하는 것을 목표로 한다.
• 집합 값을 가지는 함자를 거리 공간의 범주로 올리는 문제를 다루며, 바람직한 거리 성질을 유지한다.
• 자연스러운 사상 $X^n \to FX$에 대한 비팽창성과의 호환성을 확보하면서, $\ell^p$-거리에 대해 최대화된 거리 $d^p_F X$를 정의하는 것이 목적이다.
• 특히 $d^p_F X$가 준거리가 아니라 거리가 되는 조건을 조사하고, $F^p$에 의한 거리 및 위상적 성질의 보존 조건을 규명한다.

제안 방법

• . 거리 $d^p_F X$는 모든 $n \in \mathbb{N}$ 및 $a \in F^n$에 대해, $X^n$에 $\ell^p$-거리가 부여된 상태에서 $f \mapsto Ff(a)$ 사상이 $FX$로 가는 비팽창성 사상이 되는 $FX$ 위의 가장 큰 준거리로 정의된다.
• 이 구성은 유한 지지 집합의 연결 체인과 연결되며, 두 원소를 연결하는 모든 체인에 대해 총 경로 길이의 하한값으로 거리가 제한된다.
• 특히 $\ell^p$-길이 개념을 활용하여 지지 집합과 관련된 그래프 구조에 대한 귀납적 추론을 통해 $d^p_F X$의 상한 및 하한을 도출한다.
• 등급을 유지하기 위해 포함된 단사 환위를 사용한 수정된 거리 $\hat{d}^p_F X$를 도입하여 거리 구조를 강화한다.
• 분석 과정에서 $F^p$가 리프시츠 상수를 보존한다는 것을 증명한다: 임의의 리프시츠 사상 $f: (X,d_X) \to (Y,d_Y)$에 대해 $\operatorname{Lip}(Ff) \leq \operatorname{Lip}(f)$이다.
• 차원 이론에 있어서는, 하우스도르프 차원 및 엔트로피 차원을 포함한 다양한 차원 함수에 대해 $\dim F^p X \leq \deg(F) \cdot \dim X$ 등의 부등식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . $\ell^p$-유도 거리 $d^p_F X$가 준거리가 아니라 거리가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 . 함자 $F^p$는 거리 공간 간의 리프시츠 사상들을 언제 보존하는가?
• RQ3 . $d^p_F X$가 거리가 되기 위한 $F$ 및 $(X,d_X)$에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 . 수정된 거리 $\hat{d}^p_F X$는 특히 등급을 유지하는 성질을 향상시키는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 . $\dim X$ 및 $F$의 차수에 따라 $\dim F^p X$에 대한 차원 이론적 상한은 무엇인가?

주요 결과

• . 거리 $d^p_F X$가 준거리임과 동시에 함자가 단일 원소 집합을 보존하는 것은 필수적이다.
• . 함자가 단일 원소 집합을 보존하고, 다음 네 조건 중 하나 이상을 만족할 경우 $d^p_F X$는 거리가 된다: $(X,d_X)$가 리프시츠 비연결성임, $p=1$, $F$가 유한 차수를 가짐, 또는 $F$가 지지 집합을 보존함.
• . 임의의 리프시츠 사상 $f: (X,d_X) \to (Y,d_Y)$에 대해, 유도된 사상 $Ff: (FX,d^p_F X) \to (FY,d^p_F Y)$는 $\operatorname{Lip}(Ff) \leq \operatorname{Lip}(f)$를 만족한다. 이는 $F^p$가 리프시츠 사상들을 보존함을 증명한다.
• . $F$가 유한성, 유한 차수, 지지 집합 보존을 모두 만족할 경우, $F^p$는 균일 연속 함수, 코arse 함수, 코arse 동치, 점근적 리프시츠 사상, 그리고 준등거리 사상들을 모두 보존한다.
• . 여러 차원 함수 $\dim$에 대해 부등식 $\dim F^p X \leq \deg(F) \cdot \dim X$가 성립하며, 이는 차원 제어 메커니즘을 제공한다.
• . 단사 환위를 통해 구성된 수정된 거리 $\hat{d}^p_F X$는 $\hat{F}^p$가 거리 공간 간의 등급을 보존함을 보장한다. 이는 $d^p_F X$에서는 보장되지 않는 성질이다.