[논문 리뷰] The Empirical Edgeworth Expansion for a Studentized Trimmed Mean

Nadezhda Gribkova, Roelof Helmers|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 11.

Advanced Statistical Methods and Models인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 잘라낸 분위수 근처에서 기초 분포에 대한 국소적 연속성 조건 하에서, Studentized 절단 평균에 대한 경험적 에지워스 전개(EEE)의 타당성을 확립한다. 이는 U-통계량 유형의 근사와 표본 분위수에 대한 바하두르 유형의 표현을 사용하여, 왜도와 편향을 보정하는 $N^{-1/2}$ 항에 대한 단순 명시적 공식을 제공하며, 이는 이전 연구에서 명시적으로 이 항을 유도하지 못했던 점을 개선한다.

ABSTRACT

We establish the validity of the empirical Edgeworth expansion (EE) for a studentized trimmed mean, under the sole condition that the underlying distribution function of the observations satisfies a local smoothness condition near the two quantiles where the trimming occurs. A simple explicit formula for the N^{-1/2} term (correcting for skewness and bias; N being the sample size) of the EE is given. In particular our result supplements previous work by P. Hall and A.R. Padmanabhan, On the bootstrap and the trimmed mean}, J. of Multivariate Analysis, v. 41 (1992), pp. 132-153. and H. Putter and W.R. van Zwet, Empirical Edgeworth expansions for symmetric statistics, Ann. Statist., v. 26 (1998), pp. 1540-1569. The proof is based on a U-statistic type approximation and also uses a version of Bahadur's representation for sample quantiles.

연구 동기 및 목표

• 기초 분포의 국소적 연속성 조건 이외의 최소한의 정규성 조건 하에서, Studentized 절단 평균에 대한 경험적 에지워스 전개(EEE)의 타당성을 확립하는 것.
• 왜도와 편향을 보정하는 Edgeworth 전개의 $N^{-1/2}$ 항에 대한 단순하고 명시적인 공식을 제공하는 것.
• 잔차가 $N^{-3/4}\log^{5/4}N$ 순서인 절단 평균에 대한 U-통계량 유형의 근사법을 개발하는 것.
• 기존의 대칭 통계량에 대한 에지워스 전개 일반 이론으로부터 이 결과를 도출할 수 없음을 보이는 것.
• Studentization에 사용된 플러그인 추정기의 일致성과 수렴 속도를 확립하는 것.

제안 방법

• 절단 평균에 대한 U-통계량 유형의 근사법을 사용하며, 훈련 분해의 첫 두 항과 다름.
• 표본 분위수에 대한 바하두르 유형의 표현을 사용하여 순서 통계량과 기초 분포의 성질을 연결한다.
• 세 번째 모멘트 $\gamma_{3,W}$와 편향 보정 항 $\delta_{2,W}$를 사용하여 $N^{-1/2}$ 항을 보정하며, $\sigma_W^3$으로 정규화한다.
• Studentization에서 표준오차의 플러그인 추정기의 확률적 근사 기법을 적용한다.
• 분포 함수의 차이 $\Delta F_{r,N-2}(x)$에 대한 적분과 점근적 경계를 사용하여 두 번째 순서 모멘트를 분석한다.
• 근처의 $\xi_\alpha$와 $\xi_\beta$ 영역에 대한 적분으로 분해함으로써 $\mathbb{E}[T_{N,(1,2)}^2]$의 점근적 행동을 확립하며, 명시적인 분산 항을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잘라낸 분위수 근처에서 기초 분포가 국소적으로 연속적이라는 조건만으로, Studentized 절단 평균에 대한 경험적 에지워스 전개를 확립할 수 있는가?
• RQ2 Studentized 절단 평균의 에지워스 전개에서 $N^{-1/2}$ 항에 대한 단순하고 명시적인 공식이 존재하는가?
• RQ3 절단 평균에 대한 U-통계량 유형의 근사법이 잔차의 순서가 $N^{-3/4}\log^{5/4}N$이 되도록 할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 일반적인 대칭 통계량에 대한 에지워스 전개 이론으로부터 도출될 수 없는 결과를 도출하는가?
• RQ5 주어진 연속성 조건 하에서 절단 평균의 점근적 편향과 분산은 무엇인가?

주요 결과

• 기초 분포 함수가 잘라낸 분위수 $\xi_\alpha$와 $\xi_\beta$ 근처에서 국소적으로 연속적이라는 유일한 조건 하에서, Studentized 절단 평균에 대한 경험적 에지워스 전개가 타당하다.
• $N^{-1/2}$ 항의 왜도와 편향 보정은 $\lambda_1 = \gamma_{3,W}/\sigma_W^3$와 $\lambda_2 = \delta_{2,W}/\sigma_W^3$로 명시적으로 주어지며, 여기서 $\gamma_{3,W}$는 세 번째 중심모멘트이고 $\delta_{2,W}$는 편향 보정 항이다.
• 절단 평균에 대한 U-통계량 유형의 근사에서의 잔차는 $N^{-3/4}\log^{5/4}N$ 순서이며, 이는 이 접근법에서 최적이다.
• $\mathbb{E}[T_{N,(1,2)}^2]$의 두 번째 순서 모멘트는 점근적으로 $N^{-3}\left(\frac{\alpha^2(1-\alpha)^2}{f^2(\xi_\alpha)} - 2\frac{\alpha^2(1-\beta)^2}{f(\xi_\alpha)f(\xi_\beta)} + \frac{\beta^2(1-\beta)^2}{f^2(\xi_\beta)}\right) + o(N^{-3})$와 같다.
• 절단 평균의 편향은 점근적으로 $\frac{1}{N}\left(\frac{\alpha^2}{f(\xi_\alpha)}(\mu_W - \xi_\alpha)^2 - \frac{(1-\beta)^2}{f(\xi_\beta)}(\mu_W - \xi_\beta)^2\right) + o(N^{-1})$이며, 여기서 $\mu_W$는 윈저라이즈된 변수의 평균이다.
• 결과는 일반적인 대칭 통계량에 대한 에지워스 전개 이론(예: Putter와 van Zwet [16])으로부터 도출될 수 없으며, 레이마 A.2에서 반례로 이를 보여준다.