[논문 리뷰] The enumeration of simple permutations

Michael Albert, M. D. Atkinson외 1명|ArXiv.org|2003. 04. 15.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 10인용 수 75

한 줄 요약

이 논문은 단순 순열—모든 진부분구간이 다른 구간으로 매핑되지 않는 순열—의 수를 조사한다. 생성함수 $ S(x) $ 가 P-재귀가 아니라는 것을 증명하고, $ s_n \sim n! / e^2 $ 라는 점근적 전개를 유도하며, 2와 3의 거듭제곱에 대한 놀라운 합동성 성질을 증명함으로써 단순 순열 수의 수열에 깊이 있는 산술적 구조가 존재한다는 것을 드러낸다.

ABSTRACT

A simple permutation is one which maps no proper non-singleton interval onto an interval. We consider the enumeration of simple permutations from several aspects. Our results include a straightforward relationship between the ordinary generating function for simple permutations and that for all permutations, that the coefficients of this series are not P-recursive, an asymptotic expansion for these coefficients, and a number of congruence results.

연구 동기 및 목표

• 길이 $ n $ 인 단순 순열의 수인 수열 $ s_n $ 의 조합론적 및 산술적 구조를 이해하기 위해.
• 수열 $ s_n $ 이 다항계수를 가진 선형 재귀를 만족하는가(즉, P-재귀인가)를 판단하기 위해.
• 특히 주요 항을 포함한 $ s_n $ 의 점근적 전개를 유도하기 위해.
• 2와 홀수 소수에 대한 $ s_n $ 의 합동성 성질을 조사하기 위해.
• 단순 순열을 생성하거나 식별하는 데 관련된 알고리즘 문제를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 모든 순열이 더 작은 순열들로의 팽창(inflation)으로서 유일하게 단순 순열로 분해되는 구조 정리 사용.
• 모든 순열의 생성함수 $ F(x) = \sum k!x^k $ 와 단순 순열의 일반 생성함수 $ S(x) $ 를 연결하는 함수방정식 유도.
• 조합론 및 $ p $-진 값매김 기법을 적용하여 $ S(x) $ 의 계수, 특히 그들의 2-진 및 3-진 성질을 분석.
• 이진 덧셈에서의 캐리 수를 다루는 쿠머의 정리를 사용하여 $ s_n $ 전개에 등장하는 이항계수의 2-진 값매김을 결정.
• 생성함수 변환과 모듈로 산술을 활용하여 3과 2의 거듭제곱에 대한 합동식을 확립.
• 형식적 멱급수의 계수로 정의된 수열 $ \mathrm{Com}_n $ 을 분석하여 $ s_n $ 의 합동성 결과를 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $ 인 단순 순열의 수를 세는 수열 $ s_n $ 은 P-재귀인가?
• RQ2 $ s_n $ 의 점근적 성장률은 무엇이며, 전체 점근적 전개를 도출할 수 있는가?
• RQ3 $ s_n $ 은 2와 3의 거듭제곱에 대해 어떤 합동성 성질을 만족하는가?
• RQ4 단순 순열의 생성함수 $ S(x) $ 의 계수들은 $ F(x) $ 의 함수역과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 단순 순열을 효율적으로 생성하거나 식별할 수 있는 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 수열 $ s_n $ 은 P-재귀가 아니며, 그 생성함수 $ S(x) $ 의 계수들이 다항계수를 가진 어떤 선형 재귀도 만족하지 않기 때문이다.
• 수열 $ s_n $ 의 점근적 성장은 $ s_n \sim n! / e^2 $ 이며, 전개의 고차항은 아직 밝혀지지 않았다.
• 홀수 $ n $ 에 대해 $ s_n \equiv 2 \mod 2^{(n-1)/2} $ 이고, 짝수 $ n $ 에 대해 $ s_n \equiv -2 \mod 2^{n/2} $ 이며, 이는 깊이 있는 2-진 구조를 시사한다.
• 수열 $ s_n $ 은 $ s_n \equiv -C_{n-1} + (-1)^n \mod 3 $ 를 만족하며, 여기서 $ C_{n-1} $ 은 $ (n-1) $-번째 카탈란 수이다.
• 생성함수 $ S(x) $ 의 계수들은 $ F(x) $ 의 함수역의 계수들과는 달리 교대하는 $ \pm 2 $ 의 차이를 보이며, 놀라운 산술적 관계를 이룬다.
• 유도 과정에서 나타나는 수열 $ \mathrm{Com}_n $ 은 $ \mathrm{Com}_n \equiv C_{n-1} \mod 3 $ 를 만족하며, 카탈란 수와 연결된다.