[논문 리뷰] The equivalence among new multistep iteration, s-iteration and some other iterative schemes

Faik Gürsoy, Vatan Karakaya외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 24.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 내의 수축 유사 맵에 대해 새로운 다단계 반복, S-반복, 그리고 피카르, 매니, 이시카와, 누어, SP 등 여러 고전적 반복 체계 간 수렴의 동치성을 확립한다. 통합된 분석 프레임워크를 통해, 만약 조건 (1.4) 하에서 어느 하나의 반복이 고정점을 향해 수렴한다면, 나머지 모든 반복도 동일한 극한으로 수렴함을 증명하며, 기존의 수렴 동치 결과에 새로운 다단계 반복과 S-반복을 포함시켜 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that Picard, Krasnoselskij, Mann, Ishikawa, new two step, Noor, multistep, new multistep, SP and S-iterative schemes are equivalent for contractive-like operators.

연구 동기 및 목표

• 수축 유사 맵에 대해 새로운 다단계 반복, S-반복, 그리고 기타 잘 알려진 반복 체계 간의 수렴 동치성을 조사하는 것.
• 이미 피카르, 매니, 이시카와, 누어, SP, 다단계 반복 체계에 대해 확립된 수렴 동치 결과를 새로운 다단계 반복과 S-반복으로 확장하는 것.
• 조건 (1.4) 하에서 초기점과 매개수들이 동일할 경우, 이러한 모든 반복 체계가 동일한 고정점으로 수렴함을 보이는 것.
• 동일한 수축 조건 하에서 이들 체계의 수렴 행동을 확인하는 통합 이론적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 조건 (1.4) 하에서 새로운 다단계 반복 (1.6)과 S-반복 (1.7)의 수렴 행동을 분석하며, 이 조건은 준수축 맵을 일반화한다.
• 거리의 경계를 설정하기 위해 비교 기법을 사용하며, 불등식 $\|Tx - Ty\} \leq \delta\|x - y\| + \varphi(\|x - Tx\|)$ 를 활용한다. 여기서 $\delta \in [0,1)$ 이고 $\varphi$ 는 엄격하게 증가하며 $\varphi(0) = 0$ 이다.
• 수렴이 이루어지면 다른 수렴도 동일하게 이루어짐을 보이기 위해 $\|x_n - u_n\|$, $\|x_n - p\|$, $\|Tx_n - x_n\|$ 를 포함하는 재귀적 부등식을 수립한다.
• 모든 $n$ 에 대해 $\alpha_n \geq A > 0$ 라는 조건을 가정함으로써 단계 크기의 균일한 제어를 확보하여 다양한 체계 간 비교를 가능하게 한다.
• 로드스, 쇼르투즈, 추그, 쿠마르의 기존 수렴 결과를 응용하여 새로운 체계를 기존 체계와 연결한다.
• 수렴의 동치성을 공식적으로 입증하기 위해, 한 체계의 수렴이 다른 모든 체계의 동일한 고정점 $p \in F_T$ 로의 수렴을 유도함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건 (1.4) 하에서 새로운 다단계 반복이 고정점을 향해 수렴하는 것은, 매니나 이시카와와 같은 고전적 반복 체계가 수렴하는 것과 동치인가?
• RQ2 조건 (1.4) 하에서 S-반복은 새로운 다단계 반복 및 기타 반복 체계와 수렴 면에서 동치인가?
• RQ3 고전적 반복 체계 간의 수렴 동치성은 새로운 다단계 반복과 S-반복을 포함하여 수축 유사 맵에 대해 확장 가능한가?
• RQ4 $\alpha_n$, $\beta_n$, $\gamma_n$ 의 매개수 조건은 무엇이어야 하며, 이는 한 체계의 수렴이 다른 모든 체계의 수렴을 유도하는가?
• RQ5 수축 유사 조건 (1.4) 는 다양한 반복 체계 간의 수렴 행동을 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• 조건 (1.4) 하에서 새로운 다단계 반복 (1.6) 이 고정점 $p$ 로 수렴하는 것은, 피카르, 크라스노셀스키, 매니, 이시카와, 새로운 이단계, 누어, SP, 다단계 반복 체계가 모두 $p$ 로 수렴하는 것과 동치이다.
• 초기점과 매개수 $\alpha_n \geq A > 0$ 가 동일할 경우, S-반복 (1.7) 은 나열된 모든 다른 체계와 수렴 면에서 동치이다.
• 조건 (1.4) 하에서 십 개의 체계 중 어느 하나라도 수렴하면, 나머지 모든 체계도 동일한 고정점 $p \in F_T$ 로 수렴한다.
• 증명 과정에서 $\|x_n - p\| \to 0$ 이면 $\|Tx_n - x_n\| \to 0$ 임을 보였으며, 이는 반복 수열 간의 동치성을 확립하는 데 필수적이다.
• 저자들은 새로운 다단계 반복과 S-반복의 수렴이 동일 조건 하에서 가능할 뿐 아니라 고전적 체계와 수렴 면에서 동치임을 확인하였다.
• 이 결과는 기존의 수렴 동치 정리에 새로운 두 체계—새로운 다단계 반복과 S-반복—을 포함시켜, 수축 유사 맵에 대한 기존의 동치 프레임워크를 일반화한다.