[논문 리뷰] The equivalence between many-to-one polygraphs and opetopic sets

Cédric Ho Thanh|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항 함수로부터 유도된 opetope의 범주에서의 집합 값 프레샤브인 opetopic sets와 다중-일 대응 다이어그램, 즉 고차원 방향 그래프를 통한 자유 고차 범주 생성을 위한 형식적 체계인 many-to-one polygraphs 사이의 직접적인 동치성을 확립한다. 이 동치성은 polygraphic realization-nerve 수반 관계를 통해 구성되며, opetopic sets가 multitopic sets와 동치임을 증명함으로써 opetopic plexes와 opetopes 사이의 관계에 대한 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

From the polynomial approach to the definition of opetopes of Kock et al., we derive a category of opetopes, and show that its set-valued presheaves, or opetopic sets, are equivalent to many-to-one polygraphs. As an immediate corollary, we establish that opetopic sets are equivalent to multitopic sets, introduced and studied by Harnick et al, and we also address an open question of Henry.

연구 동기 및 목표

• Henry가 제기한 opetopic plexes와 opetopes 사이의 관계에 대한 열린 질문을 해결하면서, opetopic sets와 many-to-one polygraphs 사이의 직접적인 범주론적 동치성을 확립하는 것.
• Harnick 등이 도입한 multitopic sets의 범주와 opetopic sets의 범주가 동치임을 보이는 것.
• opetopic plexes의 범주가 opetopes의 범주와 동치임을 보여주며, opetopic plexes가 many-to-one polygraphs에 적합한 형상 객체임을 확인하는 것.
• 모델 이론적 접근을 피하고 다항 함수와 왼쪽 칸 확장의 방법을 사용하여 구성적이고 함의론적인 증명을 제공하는 것.
• opetopes, polygraphs, multitopes, dendrotopic sets 등 다양한 고차원 합성 접근법을 통합하여, 이들의 프레샤브 범주가 서로 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• 다항 함수와 Tn-operads를 사용하여 opetope의 범주 O를 정의하며, opetope의 다항 접근법에서 유도한다.
• O 위의 집합 값 프레샤브, 즉 Psh(O)로 opetopic sets의 범주를 정의한다.
• opetope의 붙임을 통해 소스와 타겟이 정의된 셀을 생성하는 자유 고차 범주로서 many-to-one polygraphs를 정의한다.
• 왼쪽 칸 확장을 통해 Psh(O) 위의 왼쪽 수반으로 확장되는, ∣−∣: O → Polmto의 polygraphic realization 함의론을 구성한다.
• polygraph P에 대해 NP = Polmto(∣−∣, P)로 정의된 네르브 함의론을 정의하며, (∣−∣, N) 수반 쌍을 형성한다.
• 이 수반 관계의 항등원과 쌍대항등원이 자연 동치임을 증명하여 Psh(O)와 Polmto 사이의 수반 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델 이론적 간접 구성에 의존하지 않고, 직접적이고 함의론적인 방식으로 opetopic sets와 many-to-one polygraphs 사이의 동치성이 성립하는가?
• RQ2 Henry의 추측에 따르면 opetopic plexes의 범주가 opetopes의 범주와 동치인가?
• RQ3 양쪽 다 many-to-one polygraphs와 동치이므로, opetopic sets와 multitopic sets 사이의 동치성은 성립하는가?
• RQ4 polygraphic realization과 네르브 함의론이 opetopic sets와 many-to-one polygraphs 사이의 수반 동치를 형성하는가?
• RQ5 opetopes의 범주는 카우치 완비인가? 그리고 이는 프레샤브 범주의 동치가 생성 범주 간의 동치로 올라가는 것을 보장하는가?

주요 결과

• opetopic sets의 범주 Psh(O)는 many-to-one polygraphs의 범주 Polmto와 수반 동치를 통해 동치임을 증명한다.
• 이 동치성은 단위와 쌍대단위가 자연 동치인 polygraphic realization-nerve 수반 관계를 통해 확립된다.
• opetopes의 범주 O는 opetopic plexes의 범주 Oplex와 동치이며, Henry(2019)의 열린 질문을 해결한다.
• opetopic sets는 multitopic sets와 동치이며, 이는 둘 다 many-to-one polygraphs와 동치이므로, 이는 알려진 결과이지만 이전에는 간접적인 방식으로만 확인된 바 있다.
• opetopic sets의 범주와 dendrotopic sets의 범주는 둘 다 many-to-one polygraphs와 동치이므로, 이 둘 사이의 동치성도 성립한다.
• 증명 과정에서 polygraph의 n-생성자들이 opetope에 의해 인덱싱된 셀들로 분할됨을 보이며, opetopic set X의 n-셀들은 ∣X∣의 n-생성자들과 동형임을 보여준다.