[논문 리뷰] The equivalence relations of local homeomorphisms and Fell algebras

Lisa Orloff Clark, Astrid an Huef외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 11.

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한 줄 요약

이 논문은 $ Y $ 가 하우스도르프일 때 몫사상 $ \psi: Y \to X $ 에 의해 유도되는 군속 C*-대수 $ C^*(R(\rho)) $ 가 모레타 동치에 관하여 자명한 딕스미에르-두아디 불변량을 가진 펠 대수들임을 규명한다. 이는 아르콜드와 소머셋의 펠 대수에 대한 특성화를 주로 군속으로 확장하고, 난이도가 높은 군속 C*-대수를 이용하여 딕스미에르-두아디 불변량이 비자명한 펠 대수의 구체적 예를 제시한다.

ABSTRACT

We study the groupoid C*-algebras associated to the equivalence relation induced by a quotient map on a locally compact Hausdorff space. This C*-algebra is always a Fell algebra, and if the quotient space is Hausdorff, it is a continuous-trace algebra. We show that the C*-algebra of a locally compact, Hausdorff and principal groupoid is a Fell algebra if and only if the groupoid is one of these relations, extending a theorem of Archbold and Somerset about etale groupoids. The C*-algebras of these relations are, up to Morita equivalence, precisely the Fell algebras with trivial Dixmier-Douady invariant as recently defined by an Huef, Kumjian and Sims. We use twisted groupoid algebras to provide examples of Fell algebras with non-trivial Dixmier-Douady invariant.

연구 동기 및 목표

• 몫사상 $ \psi: Y \to X $ 에 의해 유도되는 동치관계에 관련된 군속 C*-대수로서 펠 대수를 특성화하는 것, 여기서 $ Y $ 는 하우스도르프이다.
• 아르콜드와 소머셋의 펠 대수에 대한 결과를 $ C^*(G) $ 가 펠 대수일 조건이 $ G $ 가 어떤 몰입사상 $ \psi $ 에 대해 $ R(\psi) $ 와 위상적으로 동형일 조건임을 보여줌으로써 주로 군속으로 확장하는 것.
• 왜곡된 군속 C*-대수를 이용하여 딕스미에르-두아디 불변량이 0이 아닌 펠 대수의 명시적 구축을 제공하는 것.
• 새로운 펠 대수에 대한 딕스미에르-두아디 불변량 $ \delta(A) $ 와 연속 추적 대수에 대한 고전적 불변량 $ \delta_{\text{DD}}(A) $ 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 분리 가능하지만 스펙트럼이 파라콤팩트가 아닐 수 있는 펠 대수의 스펙트럼이 존재할 수 있음을 보이고, 비하우스도르프 스펙트럼과 비자명한 $ \delta(A) $ 를 가진 펠 대수를 구축하는 것.

제안 방법

• 하우스도르프 공간인 국소 콪크트 하우스도르프 공간 $ Y $ 에 대해 몰입사상 $ \psi: Y \to X $ 에서 유도되는 동치관계 $ R(\psi) \subset Y \times Y $ 를 구성한다.
• 만약 $ \psi $ 가 전사적인 국소 호메오모르피즘이라면, $ R(\psi) $ 는 에탈, 주로, 카르탕 군속이며 궤도 공간은 $ X $ 와 위상동형임을 보인다.
• $ Y $ 가 하우스도르프일 경우 $ C^*(R(\psi)) $ 가 펠 대수임을 증명하고, $ X $ 와 $ Y $ 가 모두 하우스도르프일 경우 연속 추적 대수임을 보인다.
• 왜곡된 군속 C*-대수 $ C^*(G, \sigma) $ 를 $ R(\psi) $ 에 대해 사용하여 딕스미에르-두아디 불변량 $ \delta(A) \neq 0 $ 이 비자명한 펠 대수의 구축을 한다.
• $ C^*(G) $ 가 펠 대수일 조건이 $ G $ 가 어떤 몰입사상 $ \psi $ 에 대해 $ R(\psi) $ 와 위상적으로 동형일 조건임을 보여, 아르콜드와 소머셋의 결과를 확장한다.
• 왜곡된 군속 대수의 구성 방법을 사용하여 $ \delta(A) = 0 $ 이 되는 것과 $ A $ 가 $ C^*(R(\psi)) $ 와 모레타 동치일 조건이 동치임을 보이고, 정리 6.1을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주로 군속, 국소 콱크트, 하우스도르프 군속 $ G $ 의 군속 C*-대수 $ C^*(G) $ 가 펠 대수일 조건은 무엇인가?
• RQ2 새로운 펠 대수에 대한 딕스미에르-두아디 불변량 $ \delta(A) $ 와 연속 추적 대수에 대한 고전적 불변량 $ \delta_{\text{DD}}(A) $ 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 딕스미에르-두아디 불변량 $ \delta(A) \neq 0 $ 이 비자명한 펠 대수의 명시적 예를 만들 수 있는가?
• RQ4 펠 대수의 스펙트럼이 가질 수 있는 위상적 성질은 무엇이며, 특히 파라콤팩트성과 하우스도르프성과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 연속 추적 원소의 아이디얼이 연속 추적 대수의 스펙트럼과 같아지는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $ Y $ 가 하우스도르프일 때 몰입사상 $ \psi: Y \to X $ 와 관련된 C*-대수 $ C^*(R(\psi)) $ 는 펠 대수이다.
• 만약 $ X $ 와 $ Y $ 가 모두 하우스도르프라면, $ C^*(R(\psi)) $ 는 연속 추적을 가진다.
• 국소 콱크트, 하우스도르프, 주로 군속 $ G $ 에 대해 $ C^*(G) $ 가 펠 대수일 조건은 $ G $ 가 어떤 몰입사상 $ \psi $ 에 대해 $ R(\psi) $ 와 위상적으로 동형일 조건이다.
• $ C^*(R(\psi)) $ 는 모레타 동치에 관하여, 앤 휴프, 쿰지언, 시머스가 정의한 자명한 딕스미에르-두아디 불변량 $ \delta(A) = 0 $ 을 가진 펠 대수들이다.
• 왜곡된 군속 C*-대수를 $ R(\psi) $ 에 대해 사용하면 딕스미에르-두아디 불변량 $ \delta(A) \neq 0 $ 이 비자명한 펠 대수의 명시적 예를 제공한다.
• 델타 대수 $ \delta(A) = 0 $ 인 펠 대수 $ A $ 에 대해, 연속 추적을 가진 모든 아이디얼 $ I \subset A $ 는 $ \delta_{\text{DD}}(I) = 0 $ 을 만족하므로, 계산 가능한 불변량을 통해 비자명한 $ \delta(A) $ 를 감지할 수 있다.