[논문 리뷰] The equivariant cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A: a research announcement

Hiraku Abe, Megumi Harada외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 Hessenberg 함수 $ h $ 를 사용하여 정의된 타입 A의 정규 불가본 Hessenberg 다양체의 등변 코homology 링에 대한 명시적 생성자와 관계를 계산하기 위한 체계적인 알고리즘을 제시한다. 주요 기여는 페트슨 다양체와 전체 플라그 다양체에 대한 기존의 표현을 복원하고, 플라그 다양체의 코homology에서 Hessenberg 다양체의 코homology로의 제약 사상의 상사상성(surjectivity)을 증명하는 통일된 방법을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Let $n$ be a fixed positive integer and $h: \{1,2,...,n\} ightarrow \{1,2,...,n\}$ a Hessenberg function. The main result of this manuscript is to give a systematic method for producing an explicit presentation by generators and relations of the equivariant and ordinary cohomology rings (with $\mathbb{Q}$ coefficients) of any regular nilpotent Hessenberg variety $\mathrm{Hess}(h)$ in type A. Specifically, we give an explicit algorithm, depending only on the Hessenberg function $h$, which produces the $n$ defining relations $\{f_{h(j),j}\}_{j=1}^n$ in the equivariant cohomology ring. Our result generalizes known results: for the case $h=(2,3,4,...,n,n)$, which corresponds to the Peterson variety $\mathrm{Pet}_n$, we recover the presentation of $H^*_S(\mathrm{Pet}_n)$ given previously by Fukukawa, Harada, and Masuda. Moreover, in the case $h=(n,n,...,n)$, for which the corresponding regular nilpotent Hessenberg variety is the full flag variety $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$, we can explicitly relate the generators of our ideal with those in the usual Borel presentation of the cohomology ring of $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$. The proof of our main theorem includes an argument that the restriction homomorphism $H^*_T(\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)) o H^*_S(\mathrm{Hess}(h))$ is surjective. In this research announcement, we briefly recount the context and state our results; we also give a sketch of our proofs and conclude with a brief discussion of open questions. A manuscript containing more details and full proofs is forthcoming.

연구 동기 및 목표

• 정규 불가본 Hessenberg 다양체의 등변 코homology 링에 대한 통일적이고 알고리즘적인 표현을 제공하는 것.
• 기존의 페트슨 다양체 및 전체 플라그 다양체에 대한 결과를 임의의 Hessenberg 함수로 일반화하는 것.
• 플라그 다양체의 등변 코homology에서 Hessenberg 다양체의 등변 코homology로의 제약 호모모르피즘의 상사상성(surjectivity)을 확립하는 것.
• 이러한 다양체에서의 덧셈 기저 구성과 슈부르트 계산법 연구를 위한 프레임워크를 제공하는 것.
• 정규 불가본 Hessenberg 다양체와 정규 세미단순 Hessenberg 다양체의 코homology 링 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 Hessenberg 함수 $ h $ 에 따라 인덱싱된 $ n $ 개의 명시적 관계 $ f_{h(j),j} $ 를 사용하여 $ \mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t] $ 에서의 다항식 생성자들을 통해 등변 코homology 링을 구성한다.
• 핵심 기술적 결과에 기반한다: 정규 불가본 Hessenberg 다양체에 대해 제약 사상 $ H^*_T(\mathcal{F}\ell ags(\mathbb{C}^n)) \to H^*_S(\operatorname{Hess}(h)) $ 는 상사상이다.
• 증명은 국소화 기법을 사용하며, $ R = \mathbb{Q}[t]\setminus\{0\} $ 위에서의 국소화된 코homology 링을 포함하는 호환 다이어그램을 비교하고, 힐버트 급수를 분석한다.
• 검증을 위해 전체 플라그 다양체의 경우($ h = (n,\dots,n) $)에서 동형성을 확인하였으며, 이 경우 생성자는 Borel 표현에서의 체른 클래스와 정확히 일치한다.
• 이 방법은 페트슨 다양체의 경우($ h = (2,3,\dots,n,n) $)로 확장되어 Fukukawa, Harada, 그리고 Masuda가 이전에 구한 표현을 복원한다.
• 국소화 정리에 의해 국소화된 제약 사상이 동형사상임을 보이고, 이는 사전에 단사성을 확인한 후 원래 사상 $ \varphi_h $ 도 동형사상임을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타입 A의 임의의 정규 불가본 Hessenberg 다양체에 대해 등변 코homology 링의 통일적이고 알고리즘적인 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 정규 불가본 Hessenberg 다양체의 코homology 링은 전체 플라그 다양체 및 페트슨 다양체의 코homology 링과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 플라그 다양체의 등변 코homology에서 Hessenberg 다양체의 등변 코homology로의 제약 호모모르피즘이 상사상인가?
• RQ4 Mbirika-Tymoczko 표현과 정규 불가본 Hessenberg 다양체의 실제 코homology 링 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 일반적인 정규 불가본 Hessenberg 다양체의 등변 코homology에 대해 슈부르트 계산 유형의 기저를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 등변 코homology 링 $ H^*_S(\operatorname{Hess}(h)) $ 는 Hessenberg 함수 $ h $ 에 의해 명시적으로 결정되는 생성자와 관계를 통해 표현 가능하며, $ n $ 개의 정의 관계 $ f_{h(j),j} $ 를 포함한다.
• 특히 $ h = (n,n,\dots,n) $ 인 경우, 아이디얼의 생성자들은 정확히 $ H^*(\mathcal{F}\ell ags(\mathbb{C}^n)) $ 의 Borel 표현에서의 체른 클래스와 일치한다.
• 페트슨 다양체($ h = (2,3,\dots,n,n) $)의 경우, 이 방법은 Fukukawa, Harada, 그리고 Masuda가 이전에 구한 알려진 표현을 복원한다.
• 제약 사상 $ H^*_T(\mathcal{F}\ell ags(\mathbb{C}^n)) \to H^*_S(\operatorname{Hess}(h)) $ 는 상사상이며, 이는 이전 문헌에서 증명되지 않은 결과이다.
• 국소화된 사상 $ R^{-1}\varphi_h $ 는 동형사상이며, 이는 단사성을 확인한 후 원래 사상 $ \varphi_h $ 도 동형사상임을 암시한다.
• Mbirika-Tymoczko 링은 $ n \geq 3 $ 인 경우 $ H^*(\operatorname{Hess}(h)) $ 와 동형이 아니며, 이는 베티 수가 동일하더라도 그렇다.